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बीजगणित — गणित अभ्यास प्रश्न

Algebra · Mathematics MCQ उत्तर व स्पष्टीकरण सहित · 458 प्रश्न

बीजगणित (Algebra) 458 अभ्यास प्रश्नों का अभ्यास कराता है, प्रत्येक का सही उत्तर व हिंदी-अंग्रेज़ी में सरल स्पष्टीकरण सहित। यह गणित (Mathematics) विषय का हिस्सा है।

विषय: गणित

1.
यदि x + 5 = 12 है, तो x का मान क्या है?
If x + 5 = 12, what is the value of x?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

7

दोनों तरफ से 5 घटाने पर x = 12 − 5 = 7।
Subtracting 5 from both sides: x = 12 − 5 = 7.
2.
यदि 2x − 3 = x + 5 है, तो x का मान क्या है?
If 2x − 3 = x + 5, what is the value of x?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

8

2x − x = 5 + 3, अर्थात x = 8।
2x − x = 5 + 3, so x = 8.
3.
समीकरण x² − 5x + 6 = 0 के मूल क्या हैं?
What are the roots of the equation x² − 5x + 6 = 0?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

2 और 3
2 and 3

x² − 5x + 6 को (x−2)(x−3) = 0 के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है। इसलिए x=2 या x=3, अर्थात मूल 2 और 3 हैं।
x² − 5x + 6 can be factorised as (x−2)(x−3) = 0. So x=2 or x=3, meaning the roots are 2 and 3.
4.
यदि x + 1/x = 3 है, तो x² + 1/x² का मान कितना होगा?
If x + 1/x = 3, what is the value of x² + 1/x²?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

7

दिए गए समीकरण का वर्ग करने पर, (x + 1/x)² = x² + 2 + 1/x² होता है। इसलिए, 3² = x² + 1/x² + 2, जिससे x² + 1/x² = 9 - 2 = 7 प्राप्त होता है।
Squaring the given equation yields (x + 1/x)² = x² + 2 + 1/x². Thus, 3² = x² + 1/x² + 2, which implies x² + 1/x² = 9 - 2 = 7.
5.
यदि a और b दो धनात्मक संख्याएँ हैं जिनका योग 10 है, तो a² + b² का न्यूनतम मान कितना होगा?
If a and b are positive numbers with a sum of 10, what is the minimum value of a² + b²?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

50

जब दो संख्याओं का योग स्थिर हो, तो उनके वर्गों का योग तब न्यूनतम होता है जब दोनों संख्याएँ बराबर हों। यहाँ a = b = 5, तो 5² + 5² = 25 + 25 = 50।
The sum of squares is minimized when the numbers are equal. Since a + b = 10, let a = b = 5. Then 5² + 5² = 25 + 25 = 50.
6.
यदि 2x + 3y = 12 और 4x + 6y = 24 है, तो यह प्रणाली कितने हलों (solutions) का प्रतिनिधित्व करती है?
If 2x + 3y = 12 and 4x + 6y = 24, how many solutions does this system represent?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

अनंत हल
Infinitely many solutions

दूसरा समीकरण पहले समीकरण का गुणक 2 गुना है (2*(2x + 3y) = 24)। इसका अर्थ है कि दोनों रेखाएँ समान हैं, अतः उनके पास अनंत हल हैं।
The second equation is exactly twice the first equation. This means the two lines are identical, resulting in infinitely many solutions.
7.
यदि a + b = 5 और ab = 6 है, तो a² + b² का मान ज्ञात कीजिए।
If a + b = 5 and ab = 6, find the value of a² + b².
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

13

सूत्र a² + b² = (a+b)² - 2ab का उपयोग करें। मान रखने पर 5² - 2(6) = 25 - 12 = 13।
Use the formula a² + b² = (a+b)² - 2ab. Substituting the values gives 5² - 2(6) = 25 - 12 = 13.
8.
यदि 2x + 3y = 12 और x - y = 1 है, तो x का मान क्या होगा?
If 2x + 3y = 12 and x - y = 1, what is the value of x?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

3

दूसरे समीकरण से y = x - 1। इसे पहले समीकरण में रखने पर: 2x + 3(x-1) = 12 ⇒ 2x + 3x - 3 = 12 ⇒ 5x = 15 ⇒ x = 3।
From the second equation, y = x - 1. Substitute into the first: 2x + 3(x-1) = 12 ⇒ 5x - 3 = 12 ⇒ 5x = 15 ⇒ x = 3.
9.
यदि x का मान 5 है, तो 3x + 2 का मान क्या होगा?
If the value of x is 5, what is the value of 3x + 2?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

17

दिया गया है x = 5। समीकरण 3x + 2 में x का मान रखने पर, 3(5) + 2 = 15 + 2 = 17 प्राप्त होता है।
Given x = 5. Substituting this into the expression 3x + 2 gives 3(5) + 2 = 15 + 2 = 17.
10.
समीकरण x + 7 = 12 का हल कैसा होना चाहिए?
What should be the solution for the equation x + 7 = 12?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

x = 5

समीकरण x + 7 = 12 को हल करने के लिए, हम 7 को बाईं ओर से हटाते हैं। इसलिए, x = 12 - 7 = 5 होगा।
To solve x + 7 = 12, we subtract 7 from both sides. Therefore, x = 12 - 7 = 5.
11.
यदि किसी समीकरण की दोनों ओर से 5 घटाया जाए, तो समीकरण का संतुलन कैसा रहेगा?
If 5 is subtracted from both sides of an equation, what happens to the balance of the equation?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

समीकरण संतुलित रहेगा
The equation will remain balanced

समीकरण की मूलभूत नियम के अनुसार, यदि दोनों पक्षों पर समान गणितीय संचालन किया जाए, तो समीकरण का संतुलन बना रहता है।
According to the fundamental properties of equations, performing the same mathematical operation on both sides maintains the balance of the equation.
12.
समीकरण 2x - 4 = 10 का हल खोजने के लिए, x को अकेला करने का पहला कदम क्या होना चाहिए?
To find the solution for 2x - 4 = 10, what should be the first step to isolate x?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

दोनों ओर 4 जोड़ें
Add 4 to both sides

x को अलग करने के लिए, हम पहले स्थिरांक (constant term) को हटाते हैं। चूँकि -4 घटाया गया है, हम दोनों ओर 4 जोड़ेंगे ताकि बाईं ओर सिर्फ 2x बचे।
To isolate x, we first remove the constant term. Since -4 is subtracted, we add 4 to both sides so that only 2x remains on the left.
13.
यदि x + y = 10 और x - y = 2 है, तो 2x का मान क्या होगा?
If x + y = 10 and x - y = 2, what is the value of 2x?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

12

दोनों समीकरणों को जोड़ने पर (x + y) + (x - y) = 10 + 2 होता है। y पद रद्द हो जाते हैं और 2x = 12 प्राप्त होता है।
Adding both equations gives (x + y) + (x - y) = 10 + 2. The y terms cancel out, resulting in 2x = 12.
14.
यदि x + 1/x = 5 है, तो x² + 1/x² का मान कितना होगा?
If x + 1/x = 5, what is the value of x² + 1/x²?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

23

दिए गए समीकरण का वर्ग करने पर x² + 1/x² + 2 = 25 मिलता है, अतः x² + 1/x² = 23।
Squaring the given equation gives x² + 1/x² + 2 = 25, so x² + 1/x² = 23.
15.
एक द्विघात बहुपद x² + px + q के शून्यक (roots) a और b हैं। यदि a > 0 और b > 0 है, तो p और q के चिह्नों का सही संबंध क्या है?
A quadratic polynomial x² + px + q has roots a and b. If a > 0 and b > 0, what is the correct relationship between the signs of p and q?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

p ऋणात्मक है और q धनात्मक है
p is negative and q is positive

शून्यकों का जोड़ -p है और गुणनफल q है। चूँकि शून्यक धनात्मक हैं, उनका जोड़ धनात्मक है (-p > 0 ⇒ p < 0) और गुणनफल धनात्मक है (q > 0)।
Sum of roots is -p and product is q. Since roots are positive, their sum is positive (-p > 0 ⇒ p < 0) and product is positive (q > 0).
16.
यदि a, b, c एक समबाहु त्रिभुज की भुजाएँ हैं, तो व्यंजक a³ + b³ + c³ - 3abc का मान क्या होगा?
If a, b, c are the sides of an equilateral triangle, what is the value of the expression a³ + b³ + c³ - 3abc?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

0

समबाहु त्रिभुज में सभी भुजाएँ बराबर होती हैं, अर्थात् a=b=c। दी गई पहचान a³ + b³ + c³ - 3abc = (a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca) के अनुसार, यदि a=b=c तो यह शून्य होता है।
In an equilateral triangle, all sides are equal, i.e., a=b=c. Using the identity a³ + b³ + c³ - 3abc = (a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca), if a=b=c, the expression becomes zero.
17.
एक ट्रेन 100 किलोमीटर की दूरी 2 घंटे में तय करती है। यदि इसकी गति 25% बढ़ाई जाए, तो वह उसी दूरी को कितने घंटों में तय करेगी?
A train covers a distance of 100 km in 2 hours. If its speed is increased by 25%, how many hours will it take to cover the same distance?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

1.6 घंटे
1.6 hours

मूल गति 50 किमी/घंटा है। नई गति 50 + 25% of 50 = 62.5 किमी/घंटा है। समय = 100 / 62.5 = 1.6 घंटे।
Original speed is 50 km/h. New speed is 50 + 25% of 50 = 62.5 km/h. Time = 100 / 62.5 = 1.6 hours.
18.
एक आरपीएफ जवान को एक प्रोजेक्ट में 30 दिनों का काम पूरा करने के लिए 40 पुरुषों की आवश्यकता होती है। यदि 10 पुरुषों को अन्य ड्यूटी पर भेज दिया जाए, तो शेष पुरुषों को काम पूरा करने में कितने दिन लगेंगे?
A project requires 40 men to complete the work in 30 days. If 10 men are sent to other duties, how many days will the remaining men take to complete the work?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

40 दिन
40 days

कुल कार्य एकाइयाँ = 40 पुरुष × 30 दिन = 1200। शेष पुरुष = 40 - 10 = 30। आवश्यक दिन = 1200 / 30 = 40 दिन।
Total work units = 40 men × 30 days = 1200. Remaining men = 40 - 10 = 30. Days required = 1200 / 30 = 40 days.
19.
व्यंजक 5x² - 3x + 7 में, x के गुणांक (coefficient) की पहचान करें।
Identify the coefficient of x in the expression 5x² - 3x + 7.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

-3

गुणांक वह संख्या है जो चर (variable) के साथ गुणा होती है। यहाँ x के साथ -3 गुणा है।
The coefficient is the numerical factor multiplied by the variable. Here, -3 is multiplied by x.
20.
बीजगणितीय व्यंजक 4a + 5b में, '4a' और '5b' को क्या कहा जाता है?
In the algebraic expression 4a + 5b, what are '4a' and '5b' called?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

समपद (Terms)
Terms

बीजगणितीय व्यंजक में जो भाग जोड़ या घटाव द्वारा अलग किए जाते हैं, उन्हें 'समपद' (Terms) कहा जाता है।
Parts of an algebraic expression separated by addition or subtraction signs are called 'Terms'.
21.
व्यंजक 2x² + 3x - 5 में स्थिरांक (constant term) कौन सा है?
Which is the constant term in the expression 2x² + 3x - 5?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

-5

स्थिरांक वह पद है जिसमें कोई चर (variable) शामिल नहीं होता। यहाँ -5 एक स्थिरांक है।
A constant term is a term that does not contain any variable. Here, -5 is the constant.
22.
यदि x = 2 है, तो व्यंजक 3x + 4 का मान क्या होगा?
If x = 2, what is the value of the expression 3x + 4?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

10

x के मान 2 को व्यंजक में रखने पर: 3(2) + 4 = 6 + 4 = 10।
Substituting x = 2 into the expression: 3(2) + 4 = 6 + 4 = 10.
23.
व्यंजक x² + 2xy + y² में 'समपदों' (terms) की कुल संख्या कितनी है?
How many total terms are there in the expression x² + 2xy + y²?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

3

इस व्यंजक में तीन पद हैं: x², 2xy, और y²।
There are three terms in this expression: x², 2xy, and y².
24.
व्यंजक 5x - 3x + 2x का सरलीकृत रूप (simplified form) क्या है?
What is the simplified form of the expression 5x - 3x + 2x?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

4x

समान पदों को जोड़ने/घटाने पर: (5 - 3 + 2)x = 4x।
Combining like terms: (5 - 3 + 2)x = 4x.
25.
निम्नलिखित में से कौन सा बीजगणितीय व्यंजक 'द्विपद' (Binomial) है?
Which of the following algebraic expressions is a 'Binomial'?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

x + 3

द्विपद वह व्यंजक है जिसमें ठीक दो समपद (terms) होते हैं। x + 3 में दो पद हैं।
A binomial is an expression with exactly two terms. x + 3 has two terms.
26.
व्यंजक 7xy में गुणांक (coefficient) कौन सा है?
What is the coefficient in the expression 7xy?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

7

चरों (x और y) के अलावा बची हुई संख्या को गुणांक कहते हैं, जो यहाँ 7 है।
The number remaining after excluding the variables (x and y) is the coefficient, which is 7 here.
27.
बीजगणितीय व्यंजक x + 3y में पदों की संख्या कितनी है?
How many terms are there in the algebraic expression x + 3y?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

2

यहाँ x और 3y, जोड़ संकेत के द्वारा अलग किए गए दो अलग-अलग पद हैं।
Here, x and 3y are two distinct terms separated by the addition operator.
28.
व्यंजक 5x² + 3x में, 5x² का गुणांक (coefficient) क्या है?
In the expression 5x² + 3x, what is the coefficient of 5x²?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

5

किसी चर के साथ गुना होने वाली संख्या को उसका गुणांक कहते हैं, यहाँ वह 5 है।
The numerical factor multiplying the variable term is called the coefficient, which is 5 in this case.
29.
निम्नलिखित में से कौन सा एक द्विपद (binomial) है?
Which of the following is a binomial?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

x + 1

द्विपद वह व्यंजक है जिसमें ठीक दो पद होते हैं। x + 1 के दो पद हैं, जबकि अन्य विकल्पों में एक या तीन पद हैं।
A binomial is an expression with exactly two terms. x + 1 has two terms, whereas the other options have one or three terms.
30.
व्यंजक 4a³b² में चरों का योग (degree) क्या है?
What is the degree of the term 4a³b²?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

5

एक पद की घात (degree) उसके सभी चरों की घातों के योग के बराबर होती है। यहाँ a की घात 3 और b की घात 2 है, इसलिए योग 3+2=5 है।
The degree of a term is the sum of the exponents of its variables. Here, the exponent of a is 3 and b is 2, so the sum is 3+2=5.
31.
x और 2y को 'समपद' (like terms) क्यों नहीं माना जाता?
Why are x and 2y not considered 'like terms'?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

क्योंकि उनके चर (variables) अलग-अलग हैं
Because their variables are different

समपद तभी होते हैं जब उनमें एक ही चर (variable) हो और उसकी घात भी समान हो। यहाँ एकमें x है और दूसरे में y।
Like terms must have the same variable(s) raised to the same power. Here, one term has x and the other has y.
32.
यदि x = 2 है, तो व्यंजक 3x + 5 का मान क्या होगा?
If x = 2, what is the value of the expression 3x + 5?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

11

x की जगह 2 रखने पर, 3(2) + 5 = 6 + 5 = 11 होता है।
Substituting x with 2 gives 3(2) + 5 = 6 + 5 = 11.
33.
व्यंजक a² - 2ab + b² में कितने पद हैं?
How many terms are in the expression a² - 2ab + b²?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

3

यहाँ a², -2ab और b² तीनों अलग-अलग पद हैं जो घटाव या जोड़ संकेतों से जुड़े हैं।
Here, a², -2ab, and b² are three distinct terms connected by subtraction or addition signs.
34.
निम्नलिखित में से कौन सा एक बहुपद (polynomial) है?
Which of the following is a polynomial?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

x² - 3x + 2

बहुपद में चरों की घात गैर-नकारात्मक पूर्ण संख्या होनी चाहिए। x² - 3x + 2 में सभी घात शून्य या अधिक हैं। अन्य विकल्पों में भिन्न या भिन्न घात हैं।
In a polynomial, the exponents of variables must be non-negative integers. x² - 3x + 2 satisfies this. Other options have denominators or fractional exponents.
35.
व्यंजक 7x + 2x + 5 को सरल करने पर क्या प्राप्त होगा?
What is the simplified form of the expression 7x + 2x + 5?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

9x + 5

समपद 7x और 2x को जोड़ने पर 9x मिलता है, जबकि 5 अलग रहता है। अतः उत्तर 9x + 5 है।
Combining like terms 7x and 2x gives 9x, while 5 remains separate. Thus, the result is 9x + 5.
36.
दो संख्याओं का गुणनफल 120 है और उनका योग 23 है। इनमें से बड़ी संख्या कितनी है?
The product of two numbers is 120 and their sum is 23. What is the larger of the two numbers?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

15

संख्याएँ 15 और 8 हैं क्योंकि 15 × 8 = 120 और 15 + 8 = 23। बड़ी संख्या 15 है।
The numbers are 15 and 8 because 15 × 8 = 120 and 15 + 8 = 23. The larger number is 15.
37.
निम्नलिखित में से कौन सा व्यंजक x² - 9 के समतुल्य है?
Which of the following expressions is equivalent to x² - 9?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

(x+3)(x-3)

x² - 9 एक वर्गों का अंतर है, जिसका गुणनखंड (x+3)(x-3) होता है।
x² - 9 is a difference of squares, which factors into (x+3)(x-3).
38.
यदि 2x + 3 = 11 है, तो 4x + 6 का मान क्या होगा?
If 2x + 3 = 11, what is the value of 4x + 6?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

22

4x + 6 को 2(2x + 3) के रूप में लिखा जा सकता है। चूँकि 2x + 3 = 11, इसलिए 2 × 11 = 22।
4x + 6 can be written as 2(2x + 3). Since 2x + 3 = 11, the value is 2 × 11 = 22.
39.
एक त्रिभुज के दो कोण 60° और 70° हैं। तीसरा कोण कितना होगा?
Two angles of a triangle are 60° and 70°. What is the measure of the third angle?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

50°

त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है। अतः तीसरा कोण 180 - (60 + 70) = 50° है।
The sum of angles in a triangle is 180°. Thus, the third angle is 180 - (60 + 70) = 50°.
40.
यदि a = 2 और b = 3 है, तो a³ + b³ का मान क्या है?
If a = 2 and b = 3, what is the value of a³ + b³?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

35

2³ + 3³ = 8 + 27 = 35।
2³ + 3³ = 8 + 27 = 35.
41.
निम्नलिखित में से कौन सा संख्या सम (even) और मापनीय (divisible) by 5 है?
Which of the following numbers is even and divisible by 5?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

30

30 एक सम संख्या है (अंतिम अंक 0 है) और 5 से विभाज्य है।
30 is an even number (ends in 0) and is divisible by 5.
42.
निम्नलिखित में से कौन सा व्यंजक पूर्ण वर्ग है?
Which of the following expressions is a perfect square?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

x² + 6x + 9

व्यंजक x² + 6x + 9 को (x + 3)² के रूप में लिखा जा सकता है क्योंकि (x+3)(x+3) = x² + 3x + 3x + 9 = x² + 6x + 9।
The expression x² + 6x + 9 can be factored as (x + 3)², making it a perfect square trinomial.
43.
यदि a/b = 3/4 और b/c = 4/5 है, तो a/c का मान क्या होगा?
If a/b = 3/4 and b/c = 4/5, what is the value of a/c?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

3/5

a/c का मान निकालने के लिए, हम a/b और b/c को गुणा करते हैं: (a/b) * (b/c) = a/c। अतः (3/4) * (4/5) = 12/20 = 3/5।
To find a/c, multiply the two given ratios: (a/b) * (b/c) = a/c. So, (3/4) * (4/5) = 12/20, which simplifies to 3/5.
44.
मूल समीकरण √(x + 5) = 3 को हल करने पर x का मान क्या होगा?
What is the value of x when solving the equation √(x + 5) = 3?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

4

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: x + 5 = 9। दोनों पक्षों से 5 घटाने पर x = 9 − 5 = 4।
Square both sides of the equation: x + 5 = 9. Subtract 5 from both sides to get x = 4.
45.
एक मालगाड़ी 100 मीटर लंबी है। यह 36 किमी/घंटा की गति से 200 मीटर लंबे पुल को पार करती है। पूरी प्रक्रिया में कितना समय लगेगा?
A goods train is 100 meters long. It crosses a bridge 200 meters long at a speed of 36 km/h. How much time will it take to completely cross the bridge?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

30 सेकंड
30 seconds

कुल दूरी = ट्रेन की लंबाई + पुल की लंबाई = 100 + 200 = 300 मीटर। गति = 36 किमी/घंटा = 36 * (5/18) = 10 मीटर/सेकंड। समय = 300 / 10 = 30 सेकंड।
Total distance = Train length + Bridge length = 100 + 200 = 300 meters. Speed = 36 km/h = 36 * (5/18) = 10 m/s. Time = 300 / 10 = 30 seconds.
46.
एक टिकट कार्यालय में 'A' और 'B' दो कर्मचारी होते हैं। 'A' अकेला 100 टिकट 2 घंटे में बनाता है, जबकि 'B' अकेला 100 टिकट 3 घंटे में बनाता है। यदि दोनों मिलकर काम करें, तो 100 टिकट बनाने में कितना समय लगेगा?
In a ticket office, there are two employees, 'A' and 'B'. 'A' alone makes 100 tickets in 2 hours, while 'B' alone makes 100 tickets in 3 hours. If they work together, how much time will it take to make 100 tickets?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

1 घंटा 12 मिनट
1 hour 12 minutes

A की दर = 100/2 = 50 टिकट/घंटा। B की दर = 100/3 टिकट/घंटा। संयुक्त दर = 50 + 33.33 = 83.33 टिकट/घंटा। समय = 100 / (250/6) = 600/250 = 1.2 घंटे = 1 घंटा 12 मिनट।
A's rate = 100/2 = 50 tickets/hour. B's rate = 100/3 tickets/hour. Combined rate = 50 + 100/3 = 250/3 tickets/hour. Time = 100 / (250/3) = 300/250 = 1.2 hours = 1 hour 12 minutes.
47.
यदि 2x + 5 = 15 है, तो 3x का मान क्या होगा?
If 2x + 5 = 15, what is the value of 3x?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

15

पहले 2x = 10 हल करें जिससे x = 5 प्राप्त होगा, फिर 3x का मान 15 होगा।
First solve for 2x = 10 to get x = 5, then 3x equals 15.
48.
किसी संख्या के वर्ग का 4 गुना 100 है, तो वह संख्या क्या है?
Four times the square of a number is 100. What is the number?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

5 और -5
5 and -5

4x² = 100 का अर्थ है x² = 25, जिससे x के दो मान 5 और -5 प्राप्त होते हैं।
4x² = 100 implies x² = 25, which gives two values for x: 5 and -5.
49.
यदि x/2 = 4 है, तो x/4 का मान क्या है?
If x/2 = 4, what is the value of x/4?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

2

x/2 = 4 से x = 8 प्राप्त होता है, इसलिए x/4 = 8/4 = 2 होगा।
x/2 = 4 gives x = 8, so x/4 = 8/4 = 2.
50.
x⁰ का मान क्या है (जहाँ x ≠ 0)?
What is the value of x⁰ (where x ≠ 0)?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

1

किसी भी गैर-शून्य संख्या की घात शून्य होने पर मान 1 होता है।
Any non-zero number raised to the power of zero is equal to 1.
51.
समीकरण 3x + 2y = 12 में यदि x = 2 है, तो y का मान क्या होगा?
In the equation 3x + 2y = 12, if x = 2, what is the value of y?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

3

3(2) + 2y = 12 हल करने पर 6 + 2y = 12, जिससे 2y = 6 और y = 3 प्राप्त होता है।
Solving 3(2) + 2y = 12 gives 6 + 2y = 12, which results in 2y = 6 and y = 3.
52.
यदि x + 1/x = 6 है, तो x² + 1/x² का मान क्या है?
If x + 1/x = 6, what is the value of x² + 1/x²?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

34

(x+1/x)² = x²+2+1/x² = 36। अतः x²+1/x² = 36-2 = 34।
(x+1/x)² = x²+2+1/x² = 36. So x²+1/x² = 36-2 = 34.
53.
यदि समीकरण x + 5 = 12 है, तो x का मान क्या होगा?
If the equation is x + 5 = 12, what is the value of x?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

7

समीकरण को हल करने के लिए 5 को दूसरी ओर घटाने पर, x = 12 - 5 = 7 प्राप्त होता है।
To solve the equation, subtract 5 from both sides, yielding x = 12 - 5 = 7.
54.
यदि x + 1/x = 5 है, तो x² + 1/x² का मान क्या होगा?
If x + 1/x = 5, what is the value of x² + 1/x²?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

23

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: (x + 1/x)² = 5², जो x² + 2 + 1/x² = 25 देता है, अतः उत्तर 23 है।
Squaring both sides: (x + 1/x)² = 5², which gives x² + 2 + 1/x² = 25, so the answer is 23.
55.
समीकरण 5x - 2y = 10 में, यदि x = 4 है, तो y का मान क्या होगा?
In the equation 5x - 2y = 10, if x = 4, what is the value of y?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

5

x का मान 4 रखने पर: 5(4) - 2y = 10, यानी 20 - 2y = 10, हल करने पर y = 5 प्राप्त होता है।
Substituting x = 4: 5(4) - 2y = 10, which is 20 - 2y = 10, solving gives y = 5.
56.
कौन सा समीकरण एक रैखिक समीकरण (linear equation) को दर्शाता है?
Which equation represents a linear equation?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

2x + 3y = 7

रैखिक समीकरण वह है जिसमें चरों की घात 1 होती है।
A linear equation is one where the degree of variables is 1.
57.
बीजगणित के जनक के रूप में किसे जाना जाता है, जिन्होंने अपनी प्रसिद्ध पुस्तक 'अल-जबर' में समीकरणों को हल करने की विधियाँ दी थीं?
Who is known as the 'Father of Algebra', having authored the famous book 'Al-Jabr' which introduced methods for solving equations?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

मुहम्मद इब्न मूसा अल-ख्वारिज्मी
Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi

मुहम्मद इब्न मूसा अल-ख्वारिज्मी को बीजगणित के विकास में उनके मौलिक योगदान के लिए जाना जाता है।
Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi is recognized for his foundational contributions to the development of algebra.
58.
द्विघात समीकरण (Quadratic Equation) के लिए 'श्रीधराचार्य सूत्र' का प्रतिपादन किस भारतीय गणितज्ञ ने किया था?
Which Indian mathematician formulated the 'Sridharacharya Formula' used for solving quadratic equations?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

श्रीधराचार्य
Sridharacharya

श्रीधराचार्य ने द्विघात सूत्र दिया था जिसे आज भी मानक रूप में उपयोग किया जाता है।
Sridharacharya provided the quadratic formula which is still used in its standard form today.
59.
किस शताब्दी में 'अल-जबर' पुस्तक का लैटिन भाषा में अनुवाद हुआ, जिसने यूरोप में बीजगणित के प्रसार में मदद की?
In which century was the book 'Al-Jabr' translated into Latin, helping the spread of algebra in Europe?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

12वीं शताब्दी
12th century

12वीं शताब्दी में रॉबर्ट ऑफ चेस्टर ने इस पुस्तक का अनुवाद किया था।
Robert of Chester translated the book into Latin during the 12th century.
60.
बीजगणितीय व्यंजकों के लिए 'शून्य' (Zero) की अवधारणा को परिभाषित करने वाले पहले गणितज्ञ कौन थे?
Who was the first mathematician to define the concept of 'Zero' for algebraic expressions?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

ब्रह्मगुप्त
Brahmagupta

ब्रह्मगुप्त ने 628 ईस्वी में अपनी पुस्तक 'ब्रह्मस्फुटसिद्धान्त' में शून्य के नियमों को परिभाषित किया था।
Brahmagupta defined the rules for zero in his book 'Brahmasphutasiddhanta' in 628 AD.
61.
प्राचीन भारतीय गणितज्ञ पिंगल ने किस पुस्तक में द्विपद गुणांक (Binomial Coefficients) का उल्लेख किया था?
In which book did the ancient Indian mathematician Pingala describe binomial coefficients?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

छंदःशास्त्र
Chandahshastra

पिंगल ने छंदःशास्त्र में मेरु-प्रस्तार के माध्यम से द्विपद गुणांकों का वर्णन किया था।
Pingala described binomial coefficients through Meru-Prastara in his work Chandahshastra.
62.
समीकरण (Equation) शब्द का लैटिन मूल क्या है, जिसका अर्थ 'समानता' होता है?
What is the Latin root of the word 'Equation', which signifies 'equality'?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

Aequalis

इक्वेशन शब्द लैटिन 'aequalis' से आया है, जिसका अर्थ है बराबर या समान।
The word equation is derived from the Latin 'aequalis', meaning equal or balanced.
63.
रेने डेसकार्टेस ने किस वर्ष अपनी प्रसिद्ध कृति 'ला ज्योमेट्री' प्रकाशित की, जिसमें बीजगणित और ज्यामिति को जोड़ा गया?
In which year did Rene Descartes publish his famous work 'La Géométrie', which linked algebra and geometry?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

1637

1637 में प्रकाशित इस कार्य ने विश्लेषणात्मक ज्यामिति की नींव रखी।
Published in 1637, this work laid the foundation for analytical geometry.
64.
बीजगणित में 'x' का उपयोग अज्ञात चर के रूप में करने की परंपरा का श्रेय किसे दिया जाता है?
Who is credited with the tradition of using 'x' as an unknown variable in algebra?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

डेसकार्टेस
Descartes

रेने डेसकार्टेस ने अपनी पुस्तक 'ला ज्योमेट्री' में अज्ञात मानों के लिए वर्णमाला के अंतिम अक्षरों का उपयोग किया।
Rene Descartes used the final letters of the alphabet for unknown values in his book 'La Géométrie'.
65.
किस गणितज्ञ ने 'बाइनोमियल प्रमेय' (Binomial Theorem) के लिए सामान्यीकृत रूप दिया था?
Which mathematician provided the generalized form for the 'Binomial Theorem'?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

आइजैक न्यूटन
Isaac Newton

आइजैक न्यूटन ने 1665 के आसपास बाइनोमियल प्रमेय का सामान्यीकरण किया था।
Isaac Newton generalized the Binomial Theorem around 1665.
66.
कौन सा भारतीय गणितज्ञ 'लीलावती' पुस्तक के लेखक हैं, जिसमें समीकरणों के कई बीजगणितीय हल दिए गए हैं?
Which Indian mathematician is the author of the book 'Lilavati', which contains many algebraic solutions to equations?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

भास्कर द्वितीय
Bhaskara II

भास्कर द्वितीय (भास्कराचार्य) ने 1150 ईस्वी में लीलावती की रचना की थी।
Bhaskara II (Bhaskaracharya) composed Lilavati in 1150 AD.
67.
यदि x का मान 2 है, तो 5x² का सही मान क्या होगा?
If the value of x is 2, what is the correct value of 5x²?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

20

यहाँ पहले वर्ग किया जाता है: 2 का वर्ग 4 होता है, फिर 5 गुणा 4 करने पर 20 प्राप्त होता है।
According to BODMAS, square the variable first: 2² = 4, then multiply by 5 to get 20.
68.
समीकरण (x+3)² का विस्तार क्या होगा?
What is the expansion of the expression (x+3)²?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

x²+6x+9

यह (a+b)² = a²+2ab+b² के सूत्र का उपयोग करता है।
This follows the algebraic identity (a+b)² = a²+2ab+b².
69.
यदि 2x + 5 = 15 है, तो x का मान क्या है?
If 2x + 5 = 15, what is the value of x?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

5

5 को दूसरी ओर ले जाने पर 10 बचता है, फिर 10 को 2 से भाग देने पर 5 आता है।
Subtracting 5 from 15 gives 10, then dividing 10 by 2 gives 5.
70.
यदि x/2 = 8 है, तो x का मान क्या होगा?
If x/2 = 8, what is the value of x?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

16

x का मान निकालने के लिए 8 को 2 से गुणा करना होगा।
To find x, you must multiply 8 by 2 because 2 is in the denominator.
71.
x की घात 0 (x⁰) का मान क्या होगा (जहाँ x शून्य नहीं है)?
What is the value of x raised to the power of 0 (x⁰) where x is not zero?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

1

किसी भी गैर-शून्य संख्या की घात 0 हमेशा 1 होती है।
Any non-zero number raised to the power of 0 is always 1.
72.
यदि 4x = 20 है, तो 2x का मान क्या होगा?
If 4x = 20, what is the value of 2x?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

10

यदि 4x, 20 है, तो उसका आधा (2x) निश्चित रूप से 10 होगा।
If 4x equals 20, then half of that (2x) must be 10.
73.
व्यंजक 2x + 3y + 4x - y का सही सरलीकरण क्या है?
What is the correct simplification of the expression 2x + 3y + 4x - y?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

6x + 2y

समान चरों (x और x, y और y) को आपस में जोड़ें या घटाएं।
Combine like terms by grouping the x-terms together and the y-terms together.
74.
यदि x + y = 12 और x - y = 2 है, तो x का मान क्या होगा?
If x + y = 12 and x - y = 2, what is the value of x?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

7

दोनों समीकरणों को जोड़ने पर 2x = 14 प्राप्त होता है, जिससे x = 7 मिलता है।
Adding both equations gives 2x = 14, which results in x = 7.
75.
व्यंजक (a + b)² - (a - b)² का सरल रूप क्या है?
What is the simplified form of the expression (a + b)² - (a - b)²?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

4ab

बीजगणितीय सर्वसमिका के अनुसार (a+b)² - (a-b)² का मान 4ab होता है।
According to the algebraic identity, the value of (a+b)² - (a-b)² is 4ab.
76.
यदि x² - 9 = 0 है, तो x के धनात्मक मान की गणना करें।
If x² - 9 = 0, calculate the positive value of x.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

3

x² = 9 का वर्गमूल लेने पर x = 3 प्राप्त होता है।
Taking the square root of x² = 9 gives x = 3.
77.
समीकरण 3x + 5 = 20 में x का मान ज्ञात कीजिए।
Find the value of x in the equation 3x + 5 = 20.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

5

3x = 20 - 5 = 15, इसलिए x = 15/3 = 5।
3x = 20 - 5 = 15, therefore x = 15/3 = 5.
78.
यदि a = 5 और b = 3 है, तो (a³ - b³) का मान क्या होगा?
If a = 5 and b = 3, what is the value of (a³ - b³)?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

98

a³ = 125 और b³ = 27 है। 125 - 27 = 98।
a³ = 125 and b³ = 27. 125 - 27 = 98.
79.
यदि x + 1/x = 4 है, तो x² + 1/x² का मान क्या होगा?
If x + 1/x = 4, what is the value of x² + 1/x²?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

14

सूत्र (x + 1/x)² = x² + 1/x² + 2 का उपयोग करें। 4² - 2 = 14।
Use the formula (x + 1/x)² = x² + 1/x² + 2. Thus, 4² - 2 = 14.
80.
यदि 2x + 3y = 10 और 3x + 2y = 15 है, तो x + y का मान क्या होगा?
If 2x + 3y = 10 and 3x + 2y = 15, what is the value of x + y?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

5

दोनों समीकरणों को जोड़ने पर 5x + 5y = 25 प्राप्त होता है। 5 से भाग देने पर x + y = 5।
Adding both equations gives 5x + 5y = 25. Dividing by 5 gives x + y = 5.
81.
यदि a - b = 4 और ab = 21 है, तो a² + b² का मान ज्ञात कीजिए।
If a - b = 4 and ab = 21, find the value of a² + b².
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

58

सूत्र (a - b)² = a² + b² - 2ab का उपयोग करें। 4² + 2(21) = 16 + 42 = 58।
Use the formula (a - b)² = a² + b² - 2ab. Thus, 4² + 2(21) = 16 + 42 = 58.
82.
यदि x = 2 + √3 है, तो x + 1/x का मान क्या होगा?
If x = 2 + √3, what is the value of x + 1/x?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

4

1/x का मान 2 - √3 होगा। जोड़ने पर (2 + √3) + (2 - √3) = 4 प्राप्त होता है।
The value of 1/x is 2 - √3. Adding them gives (2 + √3) + (2 - √3) = 4.
83.
यदि x > y और y > z है, तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन हमेशा सत्य है?
If x > y and y > z, which of the following statements is always true?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

x > z

चूंकि x, y से बड़ा है और y, z से बड़ा है, इसलिए क्रम के अनुसार x का मान z से बड़ा होगा।
Since x is greater than y and y is greater than z, by the transitive property, x must be greater than z.
84.
यदि a + b = 10 और a * b = 21 है, तो a और b का मान क्या होगा?
If a + b = 10 and a * b = 21, what are the values of a and b?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

7 और 3
7 and 3

7 और 3 का योग 10 होता है और उनका गुणनफल 21 होता है।
The sum of 7 and 3 is 10, and their product is 21.
85.
यदि x एक धनात्मक पूर्णांक है, तो x² का मान किसके बराबर नहीं हो सकता?
If x is a positive integer, which of the following cannot be the value of x²?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

8

8 एक पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है, जबकि 1, 4 और 9 पूर्ण वर्ग हैं।
8 is not a perfect square, while 1, 4, and 9 are squares of 1, 2, and 3 respectively.
86.
दो संख्याओं का योग 15 है और उनका अंतर 3 है, तो बड़ी संख्या क्या है?
The sum of two numbers is 15 and their difference is 3, what is the larger number?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

9

समीकरण x+y=15 और x-y=3 को हल करने पर 2x=18, अतः x=9।
Solving the system x+y=15 and x-y=3 gives 2x=18, so x=9.
87.
यदि 3x + 5 = 20, तो x का मान क्या होगा?
If 3x + 5 = 20, what is the value of x?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

5

3x = 20 - 5 = 15, इसलिए x = 15/3 = 5।
Subtracting 5 from 20 gives 15, and 15 divided by 3 equals 5.
88.
यदि x² = 16 और y³ = 27 है, तो x + y का संभावित मान क्या हो सकता है?
If x² = 16 and y³ = 27, what is a possible value for x + y?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

7

x का मान 4 या -4 हो सकता है और y का मान 3 है। 4 + 3 = 7 एक संभावित मान है।
x can be 4 or -4, and y is 3. Adding 4 and 3 gives 7, which is a possible value.
89.
कौन सा समीकरण x = 2 के लिए असत्य है?
Which equation is false for x = 2?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ड)

3x = 7

x = 2 रखने पर 3(2) = 6 होता है, न कि 7, इसलिए यह समीकरण असत्य है।
Substituting x = 2 into 3x = 7 gives 6, not 7, making the statement false.
90.
यदि एक स्टेशन पर दो गाड़ियाँ 'A' और 'B' क्रमशः 'x' और 'y' मिनट के अंतराल पर आती हैं। 'k' घंटों में 'A' और 'B' दोनों के एक साथ आने की आवृत्ति ज्ञात करने के लिए किस बीजगणितीय अवधारणा का उपयोग किया जाएगा?
Two trains 'A' and 'B' arrive at a station at intervals of 'x' and 'y' minutes respectively. Which algebraic concept is used to find the frequency of both arriving together in 'k' hours?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

लघुत्तम समापवर्त्य (LCM)
Least Common Multiple (LCM)

दो आवर्ती घटनाओं के एक साथ होने का समय ज्ञात करने के लिए हम उनके समय अंतरालों के LCM का उपयोग करते हैं।
We use the LCM of the time intervals to determine when two periodic events will coincide.
91.
यदि x + y = 12 और xy = 32 है, तो x² + y² का मान क्या होगा?
If x + y = 12 and xy = 32, what is the value of x² + y²?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

80

सूत्र x² + y² = (x + y)² - 2xy का उपयोग करें। 144 - 2(32) = 80।
Use the formula x² + y² = (x + y)² - 2xy. 144 - 2(32) = 80.
92.
यदि x - 1/x = 5 है, तो x² + 1/x² का मान ज्ञात कीजिए।
If x - 1/x = 5, find the value of x² + 1/x².
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

27

सूत्र (x - 1/x)² = x² + 1/x² - 2 का उपयोग करें। 25 + 2 = 27।
Use the formula (x - 1/x)² = x² + 1/x² - 2. Thus, 25 + 2 = 27.
93.
x³ - y³ का गुणनखंड क्या है यदि x - y = 4 और xy = 12 है?
What is the value of x³ - y³ if x - y = 4 and xy = 12?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

208

सूत्र x³ - y³ = (x - y)³ + 3xy(x - y) का उपयोग करें। 64 + 3(12)(4) = 64 + 144 = 208।
Use the formula x³ - y³ = (x - y)³ + 3xy(x - y). 64 + 3(12)(4) = 64 + 144 = 208.
94.
यदि 2x + 3y = 13 और xy = 6 है, तो 4x² + 9y² का मान क्या होगा?
If 2x + 3y = 13 and xy = 6, what is the value of 4x² + 9y²?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

97

(2x + 3y)² = 4x² + 9y² + 12xy। 169 = 4x² + 9y² + 12(6)। 169 - 72 = 97।
(2x + 3y)² = 4x² + 9y² + 12xy. 169 = 4x² + 9y² + 12(6). 169 - 72 = 97.
95.
यदि x = 11 है, तो x³ - 12x² + 12x - 1 का मान क्या है?
If x = 11, what is the value of x³ - 12x² + 12x - 1?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

10

इसे (x-1)³ - 11(x²-x) के रूप में देखें, या x=11 रखें: 1331 - 1452 + 132 - 1 = 10।
Substitute x=11: 1331 - 12(121) + 12(11) - 1 = 1331 - 1452 + 132 - 1 = 10.
96.
यदि x + 1/x = 7 है, तो x² + 1/x² का मान क्या है?
If x + 1/x = 7, what is the value of x² + 1/x²?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

47

(x+1/x)² = x²+2+1/x² = 49। अतः x²+1/x² = 49-2 = 47।
(x+1/x)² = x²+2+1/x² = 49. So x²+1/x² = 49-2 = 47.
97.
यदि a + b = 10 और ab = 21 है, तो a² + b² का मान ज्ञात कीजिए।
If a + b = 10 and ab = 21, find the value of a² + b².
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

58

a² + b² = (a+b)² - 2ab सूत्र का प्रयोग करें। 100 - 2(21) = 58।
Use the formula a² + b² = (a+b)² - 2ab. 100 - 2(21) = 58.
98.
यदि x³ - y³ = (x - y)(x² + xy + y²) है, तो (64 - 27) का मान क्या होगा यदि x=4 और y=3 है?
If x³ - y³ = (x - y)(x² + xy + y²), what is the value of (64 - 27) using this identity for x=4 and y=3?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

37

x³ - y³ = 4³ - 3³ = 64 - 27 = 37।
x³ - y³ = 4³ - 3³ = 64 - 27 = 37.
99.
समीकरण 3x + 5 = 20 में x का मान क्या है?
What is the value of x in the equation 3x + 5 = 20?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

5

3x = 20 - 5 = 15, इसलिए x = 15/3 = 5।
3x = 20 - 5 = 15, therefore x = 15/3 = 5.
100.
यदि a² - b² = 24 और a - b = 4 है, तो a + b का मान क्या होगा?
If a² - b² = 24 and a - b = 4, what is the value of a + b?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

6

सूत्र a² - b² = (a+b)(a-b) का उपयोग करें। 24 = (a+b) * 4, अतः a+b = 6।
Use the formula a² - b² = (a+b)(a-b). 24 = (a+b) * 4, so a+b = 6.
101.
यदि x/y = 4/5 है, तो (3x + y) / (x + 2y) का मान क्या होगा?
If x/y = 4/5, what is the value of (3x + y) / (x + 2y)?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

17/14

x=4 और y=5 रखें। (3*4 + 5) / (4 + 2*5) = (12+5) / (4+10) = 17/14।
Substitute x=4 and y=5. (3*4 + 5) / (4 + 2*5) = (12+5) / (4+10) = 17/14.
102.
यदि (x + y)² = 100 और xy = 20 है, तो x² + y² का मान क्या होगा?
If (x + y)² = 100 and xy = 20, what is the value of x² + y²?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

60

x² + y² + 2xy = 100. x² + y² + 2(20) = 100, इसलिए x² + y² = 100 - 40 = 60।
x² + y² + 2xy = 100. x² + y² + 2(20) = 100, so x² + y² = 100 - 40 = 60.
103.
यदि x - 1/x = 5 है, तो x² + 1/x² का मान क्या है?
If x - 1/x = 5, what is the value of x² + 1/x²?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

27

(x-1/x)² = x² - 2 + 1/x² = 25। अतः x²+1/x² = 25+2 = 27।
(x-1/x)² = x² - 2 + 1/x² = 25. So x²+1/x² = 25+2 = 27.
104.
यदि a - b = 4 और ab = 21 है, तो a³ - b³ का मान क्या होगा?
If a - b = 4 and ab = 21, what is the value of a³ - b³?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

316

सूत्र a³ - b³ = (a-b)³ + 3ab(a-b) का उपयोग करें। 4³ + 3(21)(4) = 64 + 252 = 316.
Use the identity a³ - b³ = (a-b)³ + 3ab(a-b). Substituting values: 4³ + 3(21)(4) = 64 + 252 = 316.
105.
यदि 2^x = 32 है, तो x का मान क्या होगा?
If 2^x = 32, what is the value of x?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

5

32 को 2 की घात के रूप में लिखने पर 2⁵ मिलता है। इसलिए x = 5.
Writing 32 as a power of 2 gives 2⁵. Therefore, x = 5.
106.
व्यंजक (a + b)² - (a - b)² किसके बराबर है?
The expression (a + b)² - (a - b)² is equal to?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

4ab

विस्तार करने पर (a²+b²+2ab) - (a²+b²-2ab) = 4ab प्राप्त होता है।
Expanding both terms gives (a²+b²+2ab) - (a²+b²-2ab) = 4ab.
107.
यदि (x + y) = 10 और xy = 21 है, तो x² + y² का मान क्या है?
If (x + y) = 10 and xy = 21, what is the value of x² + y²?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

58

x²+y² = (x+y)² - 2xy = 10² - 2(21) = 100 - 42 = 58.
108.
समीकरण x² + kx + 16 = 0 के मूल समान हैं, तो k का धनात्मक मान क्या है?
If the equation x² + kx + 16 = 0 has equal roots, what is the positive value of k?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

8

समान मूल के लिए विविक्तकर (Discriminant) D = b² - 4ac = 0 होना चाहिए। k² - 4(1)(16) = 0, अतः k² = 64, k = 8.
For equal roots, the discriminant D = b² - 4ac must be 0. k² - 4(1)(16) = 0, so k² = 64, k = 8.
109.
निम्नलिखित में से कौन सा व्यंजक सबसे बड़ा है, यदि x = 0.5 है?
Which of the following expressions is the largest, if x = 0.5?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

1 बटा x
1 divided by x

x = 0.5 के लिए, 1/x का मान 2 है, जो अन्य सभी विकल्पों (0.5, 0.25, 0.125) से बड़ा है।
For x = 0.5, the value of 1/x is 2, which is greater than all other options (0.5, 0.25, 0.125).
110.
निम्नलिखित में से कौन सा संबंध सही है यदि m = -3 है?
Which of the following relations is correct if m = -3?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

m का घन < 0
m cubed < 0

m = -3 के लिए, m का घन = (-3)³ = -27, जो 0 से छोटा है।
For m = -3, m cubed = (-3)³ = -27, which is less than 0.
111.
यदि x > 1 है, तो इनमें से सबसे बड़ा मान किसका होगा?
If x > 1, which of the following will have the largest value?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

x का घन
x cubed

जब x > 1 होता है, तो घात बढ़ाने पर मान बढ़ता जाता है, इसलिए x का घन सबसे बड़ा होगा।
When x > 1, the value increases as the power increases, so x cubed is the largest.
112.
यदि x/y = 3/4 है, तो निम्नलिखित में से कौन सा अनुपात सही नहीं है?
If x/y = 3/4, which of the following ratios is incorrect?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

x+1/y+1 = 3/4

अनुपात में समान संख्या जोड़ने से मान बदल जाता है, इसलिए (x+1)/(y+1) का मान 3/4 के बराबर नहीं हो सकता।
Adding the same constant to both numerator and denominator changes the ratio; thus (x+1)/(y+1) is not equal to 3/4.
113.
यदि x एक धनात्मक वास्तविक संख्या है और x < 1 है, तो निम्नलिखित में से कौन सा सबसे बड़ा है?
If x is a positive real number and x < 1, which of the following is the largest?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

1/x

यदि x, 0 और 1 के बीच है, तो 1/x का मान 1 से बड़ा होगा जबकि अन्य सभी 1 से छोटे होंगे।
If x is between 0 and 1, the value of 1/x will be greater than 1, while all other options will be less than 1.
114.
व्यंजकों x², 2x, और x+1 की तुलना करें यदि x = 0.5 है।
Compare the expressions x², 2x, and x+1 if x = 0.5.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

x+1 > 2x > x²

x=0.5 रखने पर: x²=0.25, 2x=1.0, x+1=1.5। अतः 1.5 > 1.0 > 0.25।
Substituting x=0.5: x²=0.25, 2x=1.0, x+1=1.5. Thus, 1.5 > 1.0 > 0.25.
115.
दो संख्याओं का योग 15 है और उनका गुणनफल 56 है। बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए।
The sum of two numbers is 15 and their product is 56. Find the larger number.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

8

संख्याएँ 8 और 7 हैं क्योंकि 8+7=15 और 8*7=56। बड़ी संख्या 8 है।
The numbers are 8 and 7 because 8+7=15 and 8*7=56. The larger number is 8.
116.
यदि a + b = 10 और a² + b² = 58 है, तो a और b का गुणनफल क्या होगा?
If a + b = 10 and a² + b² = 58, what is the product of a and b?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

21

(a+b)² = a² + b² + 2ab। 100 = 58 + 2ab, इसलिए 2ab = 42, ab = 21।
(a+b)² = a² + b² + 2ab. 100 = 58 + 2ab, so 2ab = 42, ab = 21.
117.
यदि x + y = 12 और x - y = 4 है, तो x का मान क्या होगा?
If x + y = 12 and x - y = 4, what is the value of x?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

8

दोनों समीकरणों को जोड़ने पर 2x = 16 प्राप्त होता है, इसलिए x = 8।
Adding both equations gives 2x = 16, therefore x = 8.
118.
समीकरण 3x² - 12 = 0 में x का धनात्मक मान क्या है?
What is the positive value of x in the equation 3x² - 12 = 0?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

2

3x² = 12, तो x² = 4, जिसका धनात्मक वर्गमूल 2 है।
3x² = 12, so x² = 4, whose positive square root is 2.
119.
यदि a + b = 7 और ab = 10 है, तो a² + b² का मान क्या होगा?
If a + b = 7 and ab = 10, what is the value of a² + b²?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

29

सूत्र a² + b² = (a+b)² - 2ab का उपयोग करें। (7)² - 2(10) = 49 - 20 = 29।
Use the formula a² + b² = (a+b)² - 2ab. (7)² - 2(10) = 49 - 20 = 29.
120.
यदि 5x - 3 = 2x + 12 है, तो x का मान ज्ञात कीजिए।
If 5x - 3 = 2x + 12, find the value of x.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

5

पदों को व्यवस्थित करने पर 3x = 15 प्राप्त होता है, जिससे x = 5 मिलता है।
Rearranging the terms gives 3x = 15, which results in x = 5.
121.
व्यंजक (x + 2)³ का विस्तार क्या है?
What is the expansion of the expression (x + 2)³?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

x³ + 6x² + 12x + 8

(a+b)³ = a³ + b³ + 3a²b + 3ab² का उपयोग करें। x³ + 8 + 3(x²)(2) + 3(x)(4) = x³ + 6x² + 12x + 8।
Use (a+b)³ = a³ + b³ + 3a²b + 3ab². x³ + 8 + 3(x²)(2) + 3(x)(4) = x³ + 6x² + 12x + 8.
122.
यदि 1/x + 1/y = 5 और x+y = 20 है, तो xy का मान क्या है?
If 1/x + 1/y = 5 and x+y = 20, what is the value of xy?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

4

(x+y)/xy = 5, तो 20/xy = 5, जिससे xy = 4।
(x+y)/xy = 5, so 20/xy = 5, which gives xy = 4.
123.
समीकरण 2x + 3y = 18 और x - y = 4 को हल करने पर x का मान क्या प्राप्त होगा?
Solving the equations 2x + 3y = 18 and x - y = 4, what is the value of x?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

6

दूसरे समीकरण से y = x - 4, इसे पहले में रखें: 2x + 3(x-4) = 18, तो 5x = 30, x = 6।
From the second, y = x - 4, substitute into the first: 2x + 3(x-4) = 18, so 5x = 30, x = 6.
124.
निम्नलिखित में से कौन सा व्यंजक (x² - 9) का गुणनखंड है?
Which of the following is a factor of the expression (x² - 9)?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

x + 3

यह a² - b² = (a-b)(a+b) के रूप में है। यहाँ x² - 3² = (x-3)(x+3)।
This is in the form a² - b² = (a-b)(a+b). Here x² - 3² = (x-3)(x+3).
125.
यदि x एक धनात्मक वास्तविक संख्या है और x² = 0.25 है, तो x का मान क्या है?
If x is a positive real number and x² = 0.25, what is the value of x?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

0.5

0.25 का वर्गमूल लेने पर हमें 0.5 प्राप्त होता है क्योंकि 0.5 * 0.5 = 0.25 होता है।
Taking the square root of 0.25 gives 0.5 because 0.5 * 0.5 = 0.25.
126.
यदि 2^x = 64 है, तो x का मान ज्ञात कीजिए।
If 2^x = 64, find the value of x.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

6

64 को 2 की घात के रूप में लिखने पर 64 = 2⁶ प्राप्त होता है, इसलिए x = 6 है।
Writing 64 as a power of 2 gives 64 = 2⁶, so x = 6.
127.
यदि x = 2 और y = -3 है, तो व्यंजक 3x² - 2y का मान क्या होगा?
If x = 2 and y = -3, what is the value of the expression 3x² - 2y?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

18

मान रखने पर: 3(2)² - 2(-3) = 3(4) + 6 = 12 + 6 = 18।
Substituting the values: 3(2)² - 2(-3) = 3(4) + 6 = 12 + 6 = 18.
128.
निम्नलिखित समीकरणों में से किसका हल x = 4 है?
Which of the following equations has x = 4 as a solution?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

x² - 16 = 0

विकल्प 3 में: (4)² - 16 = 16 - 16 = 0, जो कि सही है।
In option 3: (4)² - 16 = 16 - 16 = 0, which is correct.
129.
यदि (a+b)² = 100 है और ab = 20 है, तो a² + b² का मान क्या है?
If (a+b)² = 100 and ab = 20, what is the value of a² + b²?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

60

(a+b)² = a² + b² + 2ab। अतः 100 = a² + b² + 2(20)। 100 - 40 = 60।
(a+b)² = a² + b² + 2ab. Thus 100 = a² + b² + 2(20). 100 - 40 = 60.
130.
व्यंजक (a + b)² - (a - b)² का सरलीकृत रूप क्या है?
What is the simplified form of the expression (a + b)² - (a - b)²?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

4ab

यह बीजगणितीय सर्वसमिका है: (a²+b²+2ab) - (a²+b²-2ab) = 4ab।
This is an algebraic identity: (a²+b²+2ab) - (a²+b²-2ab) = 4ab.
131.
यदि x² - 7x + 12 = 0 है, तो x के संभावित मान क्या हैं?
If x² - 7x + 12 = 0, what are the possible values of x?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

3 और 4
3 and 4

समीकरण को (x-3)(x-4) = 0 के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है।
The equation can be factored as (x-3)(x-4) = 0.
132.
संख्या 0.00000056 को मानक रूप (वैज्ञानिक संकेतन) में कैसे लिखा जाएगा?
How is the number 0.00000056 written in standard form (scientific notation)?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

5.6 x 10⁻⁷

दशमलव को दाईं ओर 7 स्थान खिसकाने पर 10 की घात -7 प्राप्त होती है।
Moving the decimal 7 places to the right gives a power of 10⁻⁷.
133.
यदि x³ + y³ = 35 और x + y = 5 है, तो xy का मान ज्ञात कीजिए।
If x³ + y³ = 35 and x + y = 5, find the value of xy.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

6

सूत्र x³+y³ = (x+y)(x²-xy+y²) का प्रयोग करें। 35 = 5 * ((x+y)² - 3xy) का उपयोग करें।
Use the formula x³+y³ = (x+y)(x²-xy+y²). Substitute values to solve for xy=6.
134.
यदि 2^x * 2³ = 2⁷ है, तो x का मान क्या होगा?
If 2^x * 2³ = 2⁷, what is the value of x?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

4

घातांक के नियम के अनुसार, आधार समान होने पर घातें जुड़ जाती हैं: x + 3 = 7, इसलिए x = 4।
According to the laws of exponents, when bases are the same, powers add: x + 3 = 7, so x = 4.
135.
यदि (x-1/x) = 4 है, तो (x² + 1/x²) का मान क्या होगा?
If (x-1/x) = 4, what is the value of (x² + 1/x²)?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

18

(x-1/x)² = x² + 1/x² - 2। अतः 16 = x² + 1/x² - 2, जिससे 18 प्राप्त होता है।
(x-1/x)² = x² + 1/x² - 2. Thus 16 = x² + 1/x² - 2, resulting in 18.
136.
यदि किसी बीजीय व्यंजक में केवल एक पद हो, तो उसे क्या कहा जाता है?
What is an algebraic expression with only one term called?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

एकपदी
Monomial

एक पद वाले बीजीय व्यंजक को एकपदी (Monomial) कहते हैं।
An algebraic expression consisting of only one term is called a monomial.
137.
बीजगणित में 'चर' (Variable) का क्या अर्थ है?
What is the meaning of a 'variable' in algebra?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

एक मान जो बदल सकता है
A value that can change

चर वह प्रतीक है जिसका मान गणितीय संक्रियाओं के दौरान बदल सकता है।
A variable is a symbol whose value can change during mathematical operations.
138.
समान पदों (Like terms) की पहचान करें: 5x, 3y, 7x, 2z
Identify the like terms among: 5x, 3y, 7x, 2z
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

5x और 7x
5x and 7x

समान पद वे होते हैं जिनमें चर और उनकी घात समान होती है; यहाँ 'x' वाले पद समान हैं।
Like terms are those that have the same variables and exponents; here, terms with 'x' are like terms.
139.
व्यंजक 3x² + 5x - 7 में 'x²' का गुणांक (Coefficient) क्या है?
What is the coefficient of 'x²' in the expression 3x² + 5x - 7?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

3

गुणांक वह संख्या है जो चर के साथ गुणनफल में होती है। यहाँ x² के साथ 3 है।
The coefficient is the number multiplied by the variable. Here, 3 is multiplied by x².
140.
एक द्विघात समीकरण (Quadratic Equation) की अधिकतम घात क्या होती है?
What is the maximum degree of a quadratic equation?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

दो
Two

द्विघात समीकरण का मानक रूप ax² + bx + c = 0 होता है, जहाँ अधिकतम घात 2 है।
The standard form of a quadratic equation is ax² + bx + c = 0, where the highest degree is 2.
141.
शून्य घात वाले किसी भी चर (जैसे x⁰) का मान क्या होता है?
What is the value of any variable with a zero exponent (e.g., x⁰)?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

एक
One

घातांक के नियम के अनुसार, किसी भी अशून्य संख्या की घात शून्य होने पर उसका मान 1 होता है।
According to the laws of exponents, any non-zero number raised to the power of zero equals 1.
142.
समीकरण 2x + 5 = 15 में x का मान क्या है?
What is the value of x in the equation 2x + 5 = 15?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

5

2x = 15 - 5, तो 2x = 10, इसलिए x = 10 / 2 = 5।
2x = 15 - 5, so 2x = 10, therefore x = 10 / 2 = 5.
143.
एक यात्री ट्रेन की गति (x + 10) किमी/घंटा है। यदि वह (x - 5) घंटों में 450 किमी की दूरी तय करती है, तो x का मान ज्ञात कीजिए यदि x > 5 है।
A passenger train travels at a speed of (x + 10) km/h. If it covers a distance of 450 km in (x - 5) hours, find the value of x, given x > 5.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

20

दूरी = गति × समय के सूत्र का उपयोग करें: (x + 10)(x - 5) = 450। इसे हल करने पर x² + 5x - 500 = 0 प्राप्त होता है, जिससे x = 20 मिलता है।
Using the formula Distance = Speed × Time: (x + 10)(x - 5) = 450. Solving the quadratic equation x² + 5x - 500 = 0, we get x = 20.
144.
एक रेलवे यार्ड में आयताकार क्षेत्र की लंबाई उसकी चौड़ाई से 8 मीटर अधिक है। यदि क्षेत्रफल 240 वर्ग मीटर है, तो चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
In a railway yard, the length of a rectangular area is 8 meters more than its width. If the area is 240 square meters, find the width.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

12 मीटर
12 meters

माना चौड़ाई w है, तो लंबाई w + 8 है। समीकरण w(w + 8) = 240 को हल करने पर w = 12 प्राप्त होता है।
Let width be w, then length is w + 8. Solving the equation w(w + 8) = 240, we get w = 12.
145.
दो स्टेशनों के बीच का किराया x² + 5x + 6 रुपये है। यदि x = 10 है, तो कुल किराया कितना होगा?
The fare between two stations is given by the expression x² + 5x + 6 rupees. If x = 10, what is the total fare?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

156 रुपये
156 rupees

व्यंजक में x = 10 रखें: (10)² + 5(10) + 6 = 100 + 50 + 6 = 156।
Substitute x = 10 into the expression: (10)² + 5(10) + 6 = 100 + 50 + 6 = 156.
146.
एक मालगाड़ी के डिब्बों की कुल संख्या n² + 2n है। यदि डिब्बों की संख्या 80 है, तो n का मान क्या है?
The total number of wagons in a freight train is given by n² + 2n. If the number of wagons is 80, what is the value of n?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

8

n² + 2n = 80, तो n² + 2n - 80 = 0। गुणनखंड करने पर (n + 10)(n - 8) = 0, अतः n = 8।
n² + 2n = 80, so n² + 2n - 80 = 0. Factoring gives (n + 10)(n - 8) = 0, thus n = 8.
147.
यदि एक टिकट काउंटर पर बेचे गए टिकटों की संख्या (a + b) और प्रत्येक टिकट की कीमत (a - b) है, तो कुल आय क्या होगी (यदि a² - b² = 1200)?
If the number of tickets sold at a counter is (a + b) and the price per ticket is (a - b), what is the total revenue (given a² - b² = 1200)?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

1200

कुल आय = संख्या × कीमत = (a + b)(a - b) = a² - b²। दिया गया मान 1200 है।
Total revenue = quantity × price = (a + b)(a - b) = a² - b². The given value is 1200.
148.
एक रेलवे पुल की लंबाई (x³ - 8) मीटर है। यदि x = 3 है, तो पुल की लंबाई कितनी है?
The length of a railway bridge is (x³ - 8) meters. If x = 3, what is the length of the bridge?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

19 मीटर
19 meters

x = 3 को व्यंजक में रखने पर: 3³ - 8 = 27 - 8 = 19।
Substituting x = 3 into the expression: 3³ - 8 = 27 - 8 = 19.
149.
यदि एक ट्रेन में यात्रियों की संख्या 3x² + 2x - 5 है और x = 5 है, तो ट्रेन में कितने यात्री हैं?
If the number of passengers in a train is 3x² + 2x - 5 and x = 5, how many passengers are in the train?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

80

x = 5 रखने पर: 3(25) + 2(5) - 5 = 75 + 10 - 5 = 80।
Substituting x = 5: 3(25) + 2(5) - 5 = 75 + 10 - 5 = 80.
150.
दो पटरियों के बीच का अंतर x और y है जहाँ x + y = 20 और xy = 96 है। पटरियों की लंबाई के वर्गों का योग (x² + y²) क्या होगा?
The difference between two tracks is x and y where x + y = 20 and xy = 96. What is the sum of the squares of the lengths (x² + y²)?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

208

x² + y² = (x + y)² - 2xy = 20² - 2(96) = 400 - 192 = 208।
x² + y² = (x + y)² - 2xy = 20² - 2(96) = 400 - 192 = 208.
151.
एक रेलवे प्रोजेक्ट को पूरा करने में x व्यक्तियों को y दिन लगते हैं। यदि x + y = 15 और x² + y² = 113 है, तो xy का मान क्या है?
It takes x people y days to complete a railway project. If x + y = 15 and x² + y² = 113, what is the value of xy?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

56

(x + y)² = x² + y² + 2xy। अतः 15² = 113 + 2xy, जिससे 225 − 113 = 2xy, यानी 2xy = 112 और xy = 56।
(x + y)² = x² + y² + 2xy. Thus 15² = 113 + 2xy, so 225 - 113 = 2xy, which means xy = 56.
152.
एक स्टेशन पर खड़ी ट्रेनों की संख्या 4x - 2y है। यदि x = 8 और y = 5 है, तो ट्रेनों की कुल संख्या ज्ञात कीजिए।
The number of trains standing at a station is 4x - 2y. If x = 8 and y = 5, find the total number of trains.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

22

मान रखने पर: 4(8) - 2(5) = 32 - 10 = 22।
Substituting the values: 4(8) - 2(5) = 32 - 10 = 22.
153.
बीजगणित के जनक के रूप में किसे जाना जाता है, जिन्होंने अपनी प्रसिद्ध पुस्तक 'अल-जबर' में समीकरणों को हल करने की व्यवस्थित विधियाँ दीं?
Who is known as the father of algebra, having provided systematic methods for solving equations in his famous book 'Al-Jabr'?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

मुहम्मद इब्न मूसा अल-ख्वारिज्मी
Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi

मुहम्मद इब्न मूसा अल-ख्वारिज्मी को बीजगणित का जनक माना जाता है। उनकी पुस्तक 'अल-किताब अल-मुख्तसर फी हिसाब अल-जबर वल-मुकाबला' से ही 'बीजगणित' (Algebra) शब्द की उत्पत्ति हुई।
Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi is considered the father of algebra. The term 'algebra' is derived from his book 'Al-Kitab al-mukhtasar fi hisab al-jabr wal-muqabala'.
154.
द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करने का प्रसिद्ध 'श्रीधराचार्य सूत्र' किस भारतीय गणितज्ञ के नाम पर रखा गया है?
The famous 'Sridharacharya formula' for finding the roots of a quadratic equation is named after which Indian mathematician?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

श्रीधराचार्य
Sridharacharya

श्रीधराचार्य ने द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए एक सूत्र दिया था, जिसे आज भी 'श्रीधराचार्य सूत्र' के रूप में जाना जाता है।
Sridharacharya formulated a method for solving quadratic equations, which is still widely known as the Sridharacharya formula.
155.
समीकरणों के सिद्धांत (Theory of Equations) में 'घात' (Degree) की अवधारणा का उपयोग सबसे पहले किस शताब्दी के आसपास व्यापक रूप से प्रचलित हुआ?
Around which century did the concept of 'degree' in the theory of equations become widely prevalent?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

16वीं शताब्दी
16th Century

बीजगणितीय समीकरणों में घात की आधुनिक धारणा 16वीं शताब्दी के दौरान विकसित हुई जब फ्रांसीसी गणितज्ञों ने प्रतीकात्मक बीजगणित का उपयोग शुरू किया।
The modern concept of degree in algebraic equations developed during the 16th century when French mathematicians began using symbolic algebra.
156.
प्रसिद्ध गणितज्ञ 'भास्कराचार्य' की किस पुस्तक में बीजगणित (बीजगणित) पर एक पूरा अध्याय समर्पित है?
In which book by the famous mathematician 'Bhaskaracharya' is an entire chapter dedicated to algebra (Bijaganita)?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

सिद्धांत शिरोमणि
Siddhanta Shiromani

भास्कराचार्य ने 'सिद्धांत शिरोमणि' लिखी, जिसका दूसरा भाग 'बीजगणित' के नाम से जाना जाता है।
Bhaskaracharya wrote 'Siddhanta Shiromani', the second part of which is titled 'Bijaganita' (Algebra).
157.
इतालवी गणितज्ञ गिरोलामो कार्डानो ने किस प्रकार के समीकरणों को हल करने के लिए अपनी प्रसिद्ध विधि प्रकाशित की थी?
Italian mathematician Gerolamo Cardano published his famous method to solve which type of equations?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

त्रिघात समीकरण
Cubic equations

कार्डानो ने 1545 में अपनी पुस्तक 'आर्स मैग्ना' में त्रिघात समीकरणों (Cubic equations) को हल करने की विधि प्रकाशित की थी।
Cardano published the method for solving cubic equations in his 1545 book 'Ars Magna'.
158.
बीजगणित में 'चर' (Variable) के लिए अक्षरों (जैसे x, y, z) का उपयोग करने की पद्धति को किसने लोकप्रिय बनाया?
Who popularized the practice of using letters (like x, y, z) for variables in algebra?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

रेने देकार्त
Rene Descartes

रेने देकार्त ने अपनी पुस्तक 'ला ज्योमेट्री' (1637) में अज्ञात राशियों के लिए x, y और z का उपयोग करने की प्रथा को स्थापित किया।
Rene Descartes established the convention of using x, y, and z for unknown quantities in his book 'La Geometrie' (1637).
159.
द्विपद प्रमेय (Binomial Theorem) के लिए पास्कल का त्रिभुज (Pascal's Triangle) किस गणितज्ञ के नाम पर रखा गया है, हालांकि इसे पहले भी भारतीय गणितज्ञों द्वारा जाना जाता था?
Pascal's Triangle for binomial coefficients is named after which mathematician, although it was known earlier to Indian mathematicians?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

ब्लेज पास्कल
Blaise Pascal

ब्लेज पास्कल ने 17वीं शताब्दी में इस त्रिकोण के गुणों का विस्तार से वर्णन किया, जिसके कारण यह उनके नाम से प्रसिद्ध हुआ।
Blaise Pascal described the properties of this triangle in detail in the 17th century, leading to it being named after him.
160.
बीजगणित के इतिहास में 'मैट्रिक्स' (Matrix) शब्द का प्रयोग सबसे पहले किस गणितज्ञ ने किया था?
Which mathematician first used the term 'matrix' in the history of algebra?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

जेम्स जोसेफ सिल्वेस्टर
James Joseph Sylvester

जेम्स जोसेफ सिल्वेस्टर ने 1850 में 'मैट्रिक्स' शब्द का प्रतिपादन किया था, जो बाद में रैखिक बीजगणित का एक महत्वपूर्ण हिस्सा बना।
James Joseph Sylvester coined the term 'matrix' in 1850, which later became a core component of linear algebra.
161.
बीजगणित में 'समूह सिद्धांत' (Group Theory) की नींव रखने वाले गणितज्ञ कौन थे, जिनकी मृत्यु 20 वर्ष की आयु में एक द्वंद्वयुद्ध में हुई थी?
Which mathematician, who died in a duel at the age of 20, laid the foundation for 'Group Theory' in algebra?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

एवरिस्ट गैलोइस
Evariste Galois

एवरिस्ट गैलोइस ने 19वीं सदी की शुरुआत में बीजगणितीय समीकरणों को हल करने के लिए समूह सिद्धांत विकसित किया, जो आधुनिक बीजगणित का आधार है।
Evariste Galois developed group theory in the early 19th century to solve algebraic equations, forming the basis of modern algebra.
162.
व्यंजक 3a² - 5a + 2 में 'a' का गुणांक क्या है?
What is the coefficient of 'a' in the expression 3a² - 5a + 2?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

-5

किसी चर के साथ वाली संख्या को उसका गुणांक कहते हैं, यहाँ -5a में गुणांक -5 है।
The number accompanying a variable is its coefficient; here, the coefficient of -5a is -5.
163.
यदि 2x + 3 = 11 है, तो x का मान ज्ञात कीजिए।
If 2x + 3 = 11, find the value of x.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

4

3 को घटाने पर 2x = 8 मिलता है, जिसे 2 से भाग देने पर x = 4 प्राप्त होता है।
Subtracting 3 gives 2x = 8, and dividing by 2 results in x = 4.
164.
समीकरण 4x - 2y = 10 और 2x - y = 5 के कितने हल संभव हैं?
How many solutions are possible for the equations 4x - 2y = 10 and 2x - y = 5?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

अनंत हल
Infinitely many solutions

चूँकि दूसरा समीकरण पहले का ही आधा है, ये दोनों रेखाएं एक-दूसरे पर संपाती हैं, अतः अनंत हल होंगे।
Since the second equation is exactly half of the first, the lines are coincident, leading to infinite solutions.
165.
यदि x + y = 10 और x - y = 2 है, तो x का मान क्या होगा?
If x + y = 10 and x - y = 2, what is the value of x?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

6

दोनों समीकरणों को जोड़ने पर 2x = 12 प्राप्त होता है, जिससे x = 6 होता है।
Adding both equations results in 2x = 12, which simplifies to x = 6.
166.
यदि a = 2 और b = 3 है, तो व्यंजक a³ + b² का मान क्या है?
If a = 2 and b = 3, what is the value of the expression a³ + b²?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

17

2 का घन 8 है और 3 का वर्ग 9 है, 8 और 9 का योग 17 होता है।
The cube of 2 is 8 and the square of 3 is 9; the sum of 8 and 9 is 17.
167.
समीकरण (x+4)² = x² + 8x + k में k का मान क्या होना चाहिए?
What should be the value of k in the equation (x+4)² = x² + 8x + k?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

16

(a+b)² = a² + 2ab + b² के सूत्र के अनुसार, 4 का वर्ग 16 होता है।
According to the identity (a+b)² = a² + 2ab + b², the square of 4 is 16.
168.
यदि 3x - 7 = 2x + 5 है, तो x का मान ज्ञात करें।
If 3x - 7 = 2x + 5, find the value of x.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

12

2x को बाईं ओर लाने पर x बचता है और -7 को दाईं ओर ले जाने पर 12 प्राप्त होता है।
Subtracting 2x from 3x leaves x, and moving -7 to the right side adds to 5, resulting in 12.
169.
बीजगणित के जनक के रूप में किसे जाना जाता है, जिन्होंने अपनी प्रसिद्ध पुस्तक 'अल-जबर' लिखी थी?
Who is known as the father of Algebra, having written the famous book 'Al-Jabr'?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

मुहम्मद इब्न मूसा अल-ख्वारिज्मी
Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi

मुहम्मद इब्न मूसा अल-ख्वारिज्मी एक फारसी गणितज्ञ थे, जिनकी पुस्तक 'अल-जबर' से ही 'अलजेब्रा' शब्द की उत्पत्ति हुई।
Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi was a Persian mathematician whose book 'Al-Jabr' gave rise to the term 'Algebra'.
170.
द्विघात समीकरण का मानक रूप क्या है, जिसे अक्सर 'श्रीधराचार्य सूत्र' के माध्यम से हल किया जाता है?
What is the standard form of a quadratic equation, which is often solved using the 'Sridharacharya formula'?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

ax² + bx + c = 0

भारतीय गणितज्ञ श्रीधराचार्य ने द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए एक सूत्र दिया था, जिसका मानक रूप ax² + bx + c = 0 है।
Indian mathematician Sridharacharya provided a formula to solve quadratic equations, which have the standard form ax² + bx + c = 0.
171.
यदि समीकरण x + y = 10 और x - y = 2 है, तो 'x' का मान क्या होगा?
If the equations are x + y = 10 and x - y = 2, what is the value of 'x'?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

6

दोनों समीकरणों को जोड़ने पर 2x = 12 प्राप्त होता है, इसलिए x = 6।
Adding both equations gives 2x = 12, therefore x = 6.
172.
शून्य (0) के नियमों को बीजगणित में औपचारिक रूप से किसने परिभाषित किया था?
Who formally defined the rules of zero in algebra?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

ब्रह्मगुप्त
Brahmagupta

ब्रह्मगुप्त ने 628 ईस्वी में अपनी पुस्तक 'ब्राह्मस्फुटसिद्धान्त' में शून्य के साथ गणना के नियम दिए थे।
Brahmagupta provided the rules for calculation with zero in his book 'Brahmasphutasiddhanta' in 628 AD.
173.
यदि किसी संख्या का वर्ग 144 है, तो वह संख्या क्या हो सकती है?
If the square of a number is 144, what could that number be?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

12

12 का वर्ग (12 × 12) 144 होता है।
The square of 12 (12 × 12) is 144.
174.
बीजगणित में 'चर' (Variable) को दर्शाने के लिए अक्षरों का उपयोग करने की आधुनिक पद्धति किसने लोकप्रिय बनाई?
Who popularized the modern method of using letters to represent 'variables' in algebra?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ड)

फ्रांकोइस विएटे
Francois Viete

फ्रांकोइस विएटे को आधुनिक बीजगणित का जनक माना जाता है क्योंकि उन्होंने अज्ञात राशियों के लिए अक्षरों का उपयोग शुरू किया।
Francois Viete is considered the father of modern algebra because he introduced the use of letters for unknown quantities.
175.
17वीं शताब्दी में 'कार्तेसियन समन्वय प्रणाली' (Cartesian coordinate system) का परिचय किसने दिया, जिसने बीजगणित और ज्यामिति को जोड़ा?
Who introduced the 'Cartesian coordinate system' in the 17th century, which linked algebra and geometry?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

रेने डेसकार्टेस
Rene Descartes

रेने डेसकार्टेस ने 1637 में अपने काम के माध्यम से बीजगणित को ज्यामिति से जोड़ने वाली कार्तेसियन प्रणाली पेश की।
Rene Descartes introduced the Cartesian system in 1637, linking algebra to geometry through his work.
176.
बीजगणित के पिता के रूप में किसे जाना जाता है, जिन्होंने अपनी प्रसिद्ध पुस्तक 'अल-जबर' में समीकरणों को हल करने के नियम दिए?
Who is known as the Father of Algebra, credited with establishing the rules for solving equations in his famous book 'Al-Jabr'?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

मुहम्मद इब्न मूसा अल-ख्वारिज्मी
Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi

मुहम्मद इब्न मूसा अल-ख्वारिज्मी को बीजगणित का जनक माना जाता है। उनकी पुस्तक 'अल-जबर' से ही 'एल्जेब्रा' शब्द की उत्पत्ति हुई है।
Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi is considered the father of algebra. The term 'algebra' is derived from the title of his book 'Al-Jabr'.
177.
द्विघात समीकरण (Quadratic Equation) के मूलों का मान निकालने के लिए प्रसिद्ध 'श्रीधराचार्य सूत्र' किस भारतीय गणितज्ञ के नाम पर आधारित है?
The famous 'Sridharacharya formula' used to find the roots of a quadratic equation is named after which Indian mathematician?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

श्रीधराचार्य
Sridharacharya

यह सूत्र श्रीधराचार्य द्वारा दिया गया था, जो द्विघात समीकरण ax²+bx+c=0 के मूल ज्ञात करने का मानक तरीका है।
This formula was provided by Sridharacharya and is the standard method for finding the roots of the quadratic equation ax²+bx+c=0.
178.
समीकरणों के समाधान के लिए 'जीरो' (शून्य) की अवधारणा को परिभाषित करने वाले पहले गणितज्ञ कौन थे?
Who was the first mathematician to formally define the concept of 'zero' for solving algebraic equations?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

ब्रह्मगुप्त
Brahmagupta

ब्रह्मगुप्त ने 7वीं शताब्दी में अपनी पुस्तक 'ब्रह्मस्फुटसिद्धांत' में शून्य के गुणों और बीजगणितीय नियमों को परिभाषित किया था।
Brahmagupta defined the properties and algebraic rules of zero in his 7th-century book 'Brahmasphutasiddhanta'.
179.
किस प्रसिद्ध गणितज्ञ ने 'पास्कल का त्रिकोण' (Pascal's Triangle) विकसित करने से सदियों पहले ही द्विपद गुणांकों (Binomial Coefficients) का अध्ययन किया था?
Which famous mathematician studied binomial coefficients centuries before the development of 'Pascal's Triangle'?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

पिंगल
Pingala

प्राचीन भारतीय विद्वान पिंगल ने छंदशास्त्र में मेरु-प्रस्तर के रूप में द्विपद गुणांकों का वर्णन किया था, जिसे बाद में पास्कल त्रिकोण कहा गया।
Ancient Indian scholar Pingala described binomial coefficients in his work on prosody as 'Meru-Prastara', which later became known as Pascal's Triangle.
180.
बीजगणित में 'अनिश्चित समीकरणों' (Indeterminate Equations) को हल करने के लिए 'कुट्टक' विधि का आविष्कार किसने किया था?
Who invented the 'Kuttaka' method for solving indeterminate algebraic equations?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

आर्यभट्ट
Aryabhata

आर्यभट्ट ने अपनी पुस्तक 'आर्यभटीय' में रैखिक अनिश्चित समीकरणों को हल करने के लिए कुट्टक (पल्वेराइजर) विधि का प्रतिपादन किया था।
Aryabhata introduced the Kuttaka (pulverizer) method in his book 'Aryabhatiya' to solve linear indeterminate equations.
181.
12वीं सदी में 'लीलावती' नामक प्रसिद्ध गणितीय ग्रंथ की रचना किसने की थी, जिसमें बीजगणित के कई प्रश्न शामिल हैं?
Who authored the famous 12th-century mathematical treatise 'Lilavati', which contains numerous algebraic problems?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

भास्कर द्वितीय
Bhaskara II

भास्कर द्वितीय (भास्कराचार्य) ने अपनी पुत्री लीलावती के नाम पर इस ग्रंथ की रचना की थी, जो बीजगणित और अंकगणित का महत्वपूर्ण कार्य है।
Bhaskara II (Bhaskaracharya) wrote this treatise named after his daughter Lilavati, which is a significant work on algebra and arithmetic.
182.
बीजगणितीय समीकरणों में 'अज्ञात राशि' (unknown) के लिए 'यवत-तावत्' (Yavat-tavat) शब्द का प्रयोग किस काल के भारतीय गणितज्ञों द्वारा किया जाता था?
The term 'Yavat-tavat' was used for the 'unknown' in algebraic equations by mathematicians of which era?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

मध्यकालीन भारत
Medieval India

मध्यकालीन भारतीय गणितज्ञों ने अज्ञात चर (variable) को दर्शाने के लिए 'यवत-तावत्' शब्द का उपयोग किया था।
Medieval Indian mathematicians used the term 'Yavat-tavat' to represent the unknown variable in algebraic equations.
183.
बीजगणित के इतिहास में 'वर्ग-प्रकृति' (Varga-prakriti) का संबंध मुख्य रूप से किस प्रकार के समीकरणों से है?
In the history of algebra, 'Varga-prakriti' mainly refers to which type of equations?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

द्विघाती डायोफेंटाइन समीकरण
Quadratic Diophantine equations

वर्ग-प्रकृति का अर्थ है 'वर्ग का स्वरूप', जिसका उपयोग ब्रह्मगुप्त और भास्कराचार्य द्वारा द्विघाती डायोफेंटाइन समीकरणों को हल करने के लिए किया गया था।
Varga-prakriti means 'nature of the square' and was used by Brahmagupta and Bhaskaracharya to solve quadratic Diophantine equations.
184.
गणित के किस क्षेत्र में 'अंकगणित' (Arithmetic) और 'बीजगणित' (Algebra) के बीच के अंतर को स्पष्ट रूप से रेखांकित किया गया था?
In which field of mathematics was the distinction between 'Arithmetic' and 'Algebra' clearly outlined?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

पाटीगणित
Patiganita

प्राचीन भारतीय गणित में 'पाटीगणित' (अंकगणित) और 'बीजगणित' के बीच स्पष्ट विभाजन था, जहाँ बीजगणित का अर्थ अज्ञात चरों का उपयोग था।
In ancient Indian mathematics, there was a clear distinction between 'Patiganita' (arithmetic) and 'Bijaganita' (algebra), where the latter involved the use of unknown variables.
185.
यदि आठ x जमा पांच बराबर उनतीस है, तो x का मान क्या होगा?
If eight x plus five equals twenty-nine, what is the value of x?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

3

समीकरण 8x + 5 = 29 को हल करने पर 8x = 24 प्राप्त होता है, जिससे x = 3 मिलता है।
Solving the equation 8x + 5 = 29 gives 8x = 24, which results in x = 3.
186.
यदि a जमा b बराबर दस और ab बराबर इक्कीस है, तो a का वर्ग जमा b का वर्ग का मान क्या होगा?
If a plus b equals ten and ab equals twenty-one, what is the value of a squared plus b squared?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

58

सूत्र (a+b)² = a² + b² + 2ab का उपयोग करें। 100 = a² + b² + 42, अतः मान 58 है।
Use the formula (a+b)² = a² + b² + 2ab. 100 = a² + b² + 42, so the value is 58.
187.
यदि x का मान तीन है, तो व्यंजक दो x का घन ऋण पांच x का वर्ग जमा सात का मान ज्ञात करें।
If the value of x is three, find the value of the expression two x cubed minus five x squared plus seven.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

16

मान रखने पर: 2(27) - 5(9) + 7 = 54 - 45 + 7 = 16।
Substituting the values: 2(27) - 5(9) + 7 = 54 - 45 + 7 = 16.
188.
समीकरण प्रणाली x जमा y बराबर सात और x ऋण y बराबर तीन में x का मान क्या है?
In the system of equations x plus y equals seven and x minus y equals three, what is the value of x?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

5

दोनों समीकरणों को जोड़ने पर 2x = 10 प्राप्त होता है, जिससे x = 5 मिलता है।
Adding both equations gives 2x = 10, which results in x = 5.
189.
यदि x जमा एक बटे x बराबर चार है, तो x का वर्ग जमा एक बटे x का वर्ग का मान क्या होगा?
If x plus one over x equals four, what is the value of x squared plus one over x squared?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

14

दोनों तरफ वर्ग करने पर: (x + 1/x)² = 16, यानी x² + 1/x² + 2 = 16, अतः 14।
Squaring both sides: (x + 1/x)² = 16, which means x² + 1/x² + 2 = 16, so 14.
190.
समीकरण दो x जमा तीन y बराबर बारह और चार x जमा छह y बराबर चौबीस के कितने हल हैं?
How many solutions does the system of equations two x plus three y equals twelve and four x plus six y equals twenty-four have?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

अनंत
infinitely many

दूसरा समीकरण पहले का दोगुना है, अतः वे एक ही रेखा को दर्शाते हैं और अनंत हल हैं।
The second equation is twice the first, so they represent the same line and have infinitely many solutions.
191.
यदि 'x' एक वास्तविक संख्या है, तो समीकरण 'x² = -4' के कितने वास्तविक हल संभव हैं?
If 'x' is a real number, how many real solutions exist for the equation 'x² = -4'?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

शून्य
Zero

किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग कभी भी ऋणात्मक नहीं हो सकता है। इसलिए, इसका कोई वास्तविक हल नहीं है।
The square of any real number cannot be negative. Therefore, there are no real solutions.
192.
सरल करें: '10 - 2 * 3 + 4' का मान क्या है?
Simplify: What is the value of '10 - 2 * 3 + 4'?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

8

BODMAS नियम के अनुसार, पहले गुणा करें: 10 - 6 + 4 = 8।
Following the BODMAS rule, perform multiplication first: 10 - 6 + 4 = 8.
193.
समीकरण 'x/0 = 5' का हल क्या है?
What is the solution to the equation 'x/0 = 5'?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

परिभाषित नहीं
Undefined

गणित में किसी भी संख्या को शून्य से विभाजित करना अपरिभाषित है।
In mathematics, division by zero is undefined.
194.
व्यंजक 'x⁰' का मान क्या है, जहाँ 'x' शून्य के बराबर नहीं है?
What is the value of the expression 'x⁰', where 'x' is not equal to zero?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

1

किसी भी गैर-शून्य संख्या की घात शून्य होने पर उसका मान हमेशा 1 होता है।
Any non-zero number raised to the power of zero is always 1.
195.
यदि 'a - b = 4' और 'a² - b² = 16' है, तो 'a + b' का मान क्या होगा?
If 'a - b = 4' and 'a² - b² = 16', what is the value of 'a + b'?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

4

सूत्र 'a² - b² = (a - b)(a + b)' का उपयोग करें। 16 = 4 * (a + b), इसलिए a + b = 4।
Use the formula 'a² - b² = (a - b)(a + b)'. 16 = 4 * (a + b), so a + b = 4.
196.
समीकरण '√x = -3' के कितने वास्तविक हल हैं?
How many real solutions does the equation '√x = -3' have?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

शून्य
Zero

मुख्य वर्गमूल (principal square root) का मान हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है, इसलिए यह समीकरण संभव नहीं है।
The value of a principal square root is always non-negative, so this equation is impossible.
197.
यदि x - 1/x = 3 है, तो x² + 1/x² का मान क्या है?
If x - 1/x = 3, what is the value of x² + 1/x²?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

11

(x-1/x)² = x²-2+1/x² = 9। अतः x²+1/x² = 9+2 = 11।
(x-1/x)² = x²-2+1/x² = 9. So x²+1/x² = 9+2 = 11.
198.
यदि x + y = 8 और x - y = 2 है, तो xy का मान क्या होगा?
If x + y = 8 and x - y = 2, what is the value of xy?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

15

समीकरणों को हल करने पर x=5 और y=3 मिलता है। अतः xy = 5 * 3 = 15.
Solving the equations gives x=5 and y=3. Thus, xy = 5 * 3 = 15.
199.
व्यंजक (a+b+c)² का विस्तार क्या है?
What is the expansion of (a+b+c)²?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

a²+b²+c²+2(ab+bc+ca)

यह एक मानक बीजगणितीय विस्तार सूत्र है।
This is a standard algebraic expansion formula.
200.
यदि x³ + 1/x³ = 110 है, तो x + 1/x का मान क्या होगा?
If x³ + 1/x³ = 110, what is the value of x + 1/x?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

5

सूत्र (x+1/x)³ = x³ + 1/x³ + 3(x+1/x) का उपयोग करें। यदि x+1/x = 5, तो 125 = 110 + 3(5) सही है।
Use the formula (x+1/x)³ = x³ + 1/x³ + 3(x+1/x). If x+1/x = 5, then 125 = 110 + 3(5) holds true.
201.
यदि 2x + 3y = 12 और 3x + 2y = 13 है, तो x + y का मान ज्ञात कीजिए।
If 2x + 3y = 12 and 3x + 2y = 13, find the value of x + y.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

5

दोनों समीकरणों को जोड़ने पर 5x + 5y = 25 प्राप्त होता है, जिसे 5 से भाग देने पर x + y = 5 मिलता है।
Adding both equations yields 5x + 5y = 25, which when divided by 5 gives x + y = 5.
202.
यदि a + b + c = 0 है, तो a³ + b³ + c³ का मान किसके बराबर होगा?
If a + b + c = 0, what is the value of a³ + b³ + c³ equal to?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

3abc

बीजगणितीय सर्वसमिका के अनुसार, यदि a+b+c=0 है, तो a³+b³+c³ = 3abc होता है।
According to the algebraic identity, if a+b+c=0, then a³+b³+c³ = 3abc.
203.
समीकरण 3^x = 243 में x का मान ज्ञात करें।
Find the value of x in the equation 3^x = 243.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

5

243 को 3 की घात के रूप में लिखने पर 3⁵ प्राप्त होता है, इसलिए x = 5 है।
Writing 243 as a power of 3 gives 3⁵, therefore x = 5.
204.
यदि x/y = 3/4 है, तो (2x + 3y) / (3y - 2x) का मान क्या होगा?
If x/y = 3/4, what is the value of (2x + 3y) / (3y - 2x)?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

3

x=3k और y=4k रखने पर: (6k + 12k) / (12k - 6k) = 18k / 6k = 3।
Substituting x=3k and y=4k: (6k + 12k) / (12k - 6k) = 18k / 6k = 3.
205.
x का मान ज्ञात करें यदि 5^(x-3) = 1 है।
Find the value of x if 5^(x-3) = 1.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

3

किसी भी संख्या की घात शून्य होने पर मान 1 होता है, इसलिए x-3 = 0, जिससे x = 3 प्राप्त होता है।
Any number to the power of zero equals 1, so x-3 = 0, which gives x = 3.
206.
यदि समीकरण x + 5 = 12 में x का मान 7 है, तो समीकरण 2x - 3 का मान क्या होगा?
If the value of x is 7 in the equation x + 5 = 12, what will be the value of 2x - 3?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

11

यहाँ x = 7 दिया गया है। समीकरण 2(7) - 3 = 14 - 3 = 11 हल करने पर प्राप्त होता है।
Here x = 7 is given. Solving the equation 2(7) - 3 = 14 - 3 = 11.
207.
यदि x + 1/x = 5 है, तो x² + 1/x² का मान क्या होगा?
If x + 1/x = 5, what will be the value of x² + 1/x²?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

23

सूत्र (a+b)² = a² + b² + 2ab का उपयोग करें। (x + 1/x)² = 5² = 25. अतः x² + 1/x² = 25 - 2 = 23.
Use the formula (a+b)² = a² + b² + 2ab. (x + 1/x)² = 5² = 25. Thus, x² + 1/x² = 25 - 2 = 23.
208.
समीकरण 3x + 2y = 12 और x - y = -1 में x का मान क्या है?
What is the value of x in the equations 3x + 2y = 12 and x - y = -1?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

2

दूसरे समीकरण से y = x + 1 प्राप्त होता है। इसे पहले में रखने पर 3x + 2(x+1) = 12, जिससे 5x = 10 और x = 2 मिलता है।
From the second equation, y = x + 1. Substituting this into the first, 3x + 2(x+1) = 12, which gives 5x = 10 and x = 2.
209.
यदि (x - y) = 4 और xy = 12 है, तो (x + y)² का मान क्या होगा?
If (x - y) = 4 and xy = 12, what will be the value of (x + y)²?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

64

हम जानते हैं कि (x+y)² = (x-y)² + 4xy. मान रखने पर, 4² + 4(12) = 16 + 48 = 64.
We know that (x+y)² = (x-y)² + 4xy. Substituting values, 4² + 4(12) = 16 + 48 = 64.
210.
यदि 2^(x+3) = 32 है, तो x का मान ज्ञात कीजिए।
If 2^(x+3) = 32, find the value of x.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

2

32 को 2⁵ लिखा जा सकता है। इसलिए, x + 3 = 5, जिससे x = 2 प्राप्त होता है।
32 can be written as 2⁵. Therefore, x + 3 = 5, which gives x = 2.
211.
यदि x/2 + x/3 = 10 है, तो x का मान क्या है?
If x/2 + x/3 = 10, what is the value of x?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

12

लघुत्तम समापवर्त्य लेने पर (3x+2x)/6 = 10, यानी 5x/6 = 10, जिससे x = 12 प्राप्त होता है।
Taking the LCM, (3x+2x)/6 = 10, meaning 5x/6 = 10, which gives x = 12.
212.
यदि x² - 5x + 1 = 0 है, तो x + 1/x का मान क्या होगा?
If x² - 5x + 1 = 0, what will be the value of x + 1/x?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

5

समीकरण को x से भाग देने पर, x - 5 + 1/x = 0, अतः x + 1/x = 5.
Dividing the equation by x, we get x - 5 + 1/x = 0, therefore x + 1/x = 5.
213.
समीकरण 3x + 2y = 12 और x - y = 4 को हल करने पर x का मान क्या प्राप्त होगा?
Solving the equations 3x + 2y = 12 and x - y = 4, what is the value of x?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

4

दूसरे समीकरण से y = x - 4 प्रतिस्थापित करें। हल करने पर 5x = 20, अतः x = 4 प्राप्त होता है।
Substitute y = x - 4 from the second equation. Solving gives 5x = 20, so x = 4.
214.
यदि x³ - y³ = 117 और x - y = 3 है, तो x² + xy + y² का मान क्या होगा?
If x³ - y³ = 117 and x - y = 3, what is the value of x² + xy + y²?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

39

सूत्र x³ - y³ = (x-y)(x² + xy + y²) का उपयोग करें। 117 / 3 = 39।
Use the formula x³ - y³ = (x-y)(x² + xy + y²). 117 / 3 = 39.
215.
समीकरण x/2 + y/3 = 8 और x/3 + y/2 = 7 में x का मान क्या है?
In the equations x/2 + y/3 = 8 and x/3 + y/2 = 7, what is the value of x?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ड)

12

समीकरणों को हल करने पर x = 12 और y = 6 प्राप्त होता है।
Solving the equations yields x = 12 and y = 6.
216.
यदि a + b + c = 0 है, तो a³ + b³ + c³ का मान क्या होगा?
If a + b + c = 0, what is the value of a³ + b³ + c³?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

3abc

बीजगणितीय सर्वसमिका के अनुसार, यदि a+b+c = 0 है, तो a³ + b³ + c³ = 3abc होता है।
According to the algebraic identity, if a+b+c = 0, then a³ + b³ + c³ = 3abc.
217.
बीजगणित के जनक के रूप में किसे जाना जाता है, जिन्होंने अपनी प्रसिद्ध पुस्तक 'अल-जबर' में समीकरणों को हल करने की विधियाँ दीं?
Who is known as the father of algebra, having provided methods for solving equations in the famous book 'Al-Jabr'?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

मुहम्मद इब्न मूसा अल-ख्वारिज्मी
Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi

मुहम्मद इब्न मूसा अल-ख्वारिज्मी को बीजगणित का जनक माना जाता है। उनकी पुस्तक 'अल-जबर' से ही 'अलजेब्रा' शब्द की उत्पत्ति हुई है।
Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi is considered the father of algebra. The word 'Algebra' is derived from the title of his book 'Al-Jabr'.
218.
भारतीय गणितज्ञ ब्रह्मगुप्त ने अपनी किस प्रसिद्ध पुस्तक में शून्य और ऋणात्मक संख्याओं के साथ बीजगणितीय नियमों का वर्णन किया है?
In which famous book did the Indian mathematician Brahmagupta describe algebraic rules involving zero and negative numbers?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

ब्रह्मस्फुटसिद्धांत
Brahmasphutasiddhanta

ब्रह्मगुप्त ने 628 ईस्वी में 'ब्रह्मस्फुटसिद्धांत' लिखी, जिसमें उन्होंने शून्य और ऋणात्मक संख्याओं के साथ बीजगणितीय गणनाओं को परिभाषित किया।
Brahmagupta wrote 'Brahmasphutasiddhanta' in 628 AD, where he defined algebraic calculations involving zero and negative numbers.
219.
द्विपद प्रमेय (Binomial Theorem) के गुणांकों को दर्शाने वाले त्रिभुज का नाम किस प्रसिद्ध वैज्ञानिक के नाम पर रखा गया है?
The triangle representing the coefficients of the Binomial Theorem is named after which famous scientist?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

ब्लेज पास्कल
Blaise Pascal

इसे 'पास्कल का त्रिभुज' कहा जाता है, जो द्विपद गुणांकों को व्यवस्थित करने का एक तरीका है।
It is called 'Pascal's Triangle', which is a method of arranging binomial coefficients.
220.
16वीं शताब्दी में किस गणितज्ञ ने अज्ञात राशियों के लिए प्रतीकों (जैसे x, y, z) के उपयोग को लोकप्रिय बनाया?
Which mathematician in the 16th century popularized the use of symbols (like x, y, z) for unknown quantities?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

फ्रांकोइस विएट
François Viète

फ्रांकोइस विएट को आधुनिक बीजगणित का जनक माना जाता है क्योंकि उन्होंने अज्ञात राशियों के लिए अक्षरों का उपयोग शुरू किया।
François Viète is considered the father of modern algebra for introducing the use of letters for unknown quantities.
221.
किस भारतीय गणितज्ञ ने अपनी पुस्तक 'बीजगणित' में अज्ञात मानों के लिए रंगों के नामों का प्रयोग किया था?
Which Indian mathematician used names of colors to represent unknown values in his book 'Bijaganita'?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

भास्कराचार्य द्वितीय
Bhaskaracharya II

भास्कराचार्य द्वितीय ने 'बीजगणित' में अज्ञात राशियों को दर्शाने के लिए 'वर्ण' (रंग) पद्धति का उपयोग किया था।
Bhaskaracharya II used the 'varna' (color) method to represent unknown quantities in his book 'Bijaganita'.
222.
द्विघात समीकरण (Quadratic Equation) के लिए सूत्र का प्रयोग करने वाले प्रथम गणितज्ञों में से एक कौन थे, जिन्हें 'श्रीधराचार्य सूत्र' के रूप में जाना जाता है?
Who was one of the first mathematicians to use the formula for quadratic equations, known as the 'Sridharacharya Formula'?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

श्रीधराचार्य
Sridharacharya

श्रीधराचार्य ने द्विघात समीकरण को हल करने के लिए सूत्र दिया था, जिसे आज भी भारत में उनके नाम से जाना जाता है।
Sridharacharya provided the formula to solve quadratic equations, which is still known by his name in India.
223.
बीजगणित में 'फंक्शन' (Function) शब्द का प्रयोग सबसे पहले किस गणितज्ञ ने किया था?
Which mathematician first introduced the term 'function' in algebra?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

गोल्फ्रेड लाइबनीज
Gottfried Leibniz

गोटफ्राइड लाइबनीज ने 1692 में 'फंक्शन' शब्द का प्रयोग किया था ताकि वक्र के साथ चर राशियों के संबंध को दर्शाया जा सके।
Gottfried Leibniz used the term 'function' in 1692 to describe the relationship of variable quantities with a curve.
224.
बीजगणित के मूलभूत प्रमेय (Fundamental Theorem of Algebra) को सिद्ध करने का श्रेय किसे दिया जाता है?
Who is credited with proving the Fundamental Theorem of Algebra?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

कार्ल फ्रेडरिक गॉस
Carl Friedrich Gauss

कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने 1799 में अपनी डॉक्टरेट थीसिस में इस प्रमेय का पहला विस्तृत प्रमाण दिया था।
Carl Friedrich Gauss provided the first detailed proof of this theorem in his doctoral thesis in 1799.
225.
बीजगणित के संदर्भ में 'अल्गोरिदम' (Algorithm) शब्द किस गणितज्ञ के नाम से व्युत्पन्न हुआ है?
The term 'Algorithm' in the context of algebra is derived from the name of which mathematician?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

अल-ख्वारिज्मी
Al-Khwarizmi

अल्गोरिदम शब्द अल-ख्वारिज्मी के नाम के लैटिन अनुवाद 'Algoritmi' से आया है।
The word algorithm is derived from the Latin translation of Al-Khwarizmi's name, 'Algoritmi'.
226.
एक स्टेशन मास्टर के पास यात्रियों के बैठने के लिए बेंच हैं। यदि प्रत्येक बेंच पर 5 यात्री बैठते हैं, तो 10 यात्री खड़े रह जाते हैं। यदि प्रत्येक बेंच पर 6 यात्री बैठते हैं, तो 2 बेंच खाली रह जाती हैं। बेंचों की कुल संख्या ज्ञात कीजिए।
A station master has benches for passengers. If 5 passengers sit on each bench, 10 passengers remain standing. If 6 passengers sit on each bench, 2 benches remain empty. Find the total number of benches.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

22

माना बेंचों की संख्या x है। समीकरण 5x + 10 = 6(x - 2) को हल करने पर x = 22 प्राप्त होता है।
Let the number of benches be x. Solving the equation 5x + 10 = 6(x - 2) gives x = 22.
227.
एक मालगाड़ी में डिब्बों की संख्या और प्रत्येक डिब्बे में लदे कोयले के बोरों का गुणनफल स्थिर है। यदि 12 डिब्बों वाली ट्रेन में प्रत्येक डिब्बे में 25 बोरे हैं, तो 15 डिब्बों वाली ट्रेन में प्रति डिब्बा कितने बोरे होंगे?
The product of the number of wagons in a goods train and the sacks of coal per wagon is constant. If a 12-wagon train has 25 sacks per wagon, how many sacks per wagon will a 15-wagon train have?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

20

समीकरण 12 * 25 = 15 * x का उपयोग करें। 300 = 15x, इसलिए x = 20।
Use the equation 12 * 25 = 15 * x. 300 = 15x, therefore x = 20.
228.
रेलवे ट्रैक के किनारे खंभों की एक श्रृंखला है। यदि पहले और दसवें खंभे के बीच की दूरी 54 मीटर है, तो पहले और पंद्रहवें खंभे के बीच की दूरी कितनी होगी?
There is a sequence of poles along a railway track. If the distance between the first and the tenth pole is 54 meters, what will be the distance between the first and the fifteenth pole?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

84 मीटर
84 meters

9 अंतराल = 54 मीटर, तो 1 अंतराल = 6 मीटर। 14 अंतराल = 14 * 6 = 84 मीटर।
9 intervals = 54 meters, so 1 interval = 6 meters. 14 intervals = 14 * 6 = 84 meters.
229.
एक टिकट खिड़की पर दो प्रकार के टिकट हैं: 5 रुपये और 10 रुपये। कुल 40 टिकट बेचे गए और कुल कमाई 300 रुपये हुई। 5 रुपये वाले टिकटों की संख्या क्या है?
A ticket window has two types of tickets: 5 rupees and 10 rupees. A total of 40 tickets were sold and total earnings were 300 rupees. What is the number of 5 rupee tickets?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

20

माना 5 रुपये वाले टिकट x हैं। 5x + 10(40-x) = 300। हल करने पर x = 20 मिलता है।
Let the 5 rupee tickets be x. 5x + 10(40-x) = 300. Solving gives x = 20.
230.
दो स्टेशनों के बीच की दूरी तय करने में एक एक्सप्रेस ट्रेन, एक पैसेंजर ट्रेन से 2 घंटे कम समय लेती है। यदि उनकी गति का अनुपात 3:2 है, तो पैसेंजर ट्रेन को कितना समय लगेगा?
An express train takes 2 hours less than a passenger train to cover the distance between two stations. If the ratio of their speeds is 3:2, how much time will the passenger train take?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

6 घंटे
6 hours

गति का अनुपात 3:2 है, तो समय का अनुपात 2:3 होगा। अंतर 1 भाग = 2 घंटे, तो 3 भाग = 6 घंटे।
Speed ratio is 3:2, so time ratio is 2:3. Difference of 1 part = 2 hours, so 3 parts = 6 hours.
231.
एक रेलवे प्लेटफॉर्म पर यात्रियों की संख्या प्रति मिनट 2 के वर्ग के अनुपात में बढ़ रही है। यदि पहले मिनट में 4 यात्री थे, तो चौथे मिनट में कितने यात्री होंगे?
The number of passengers on a railway platform is increasing in proportion to the square of the time in minutes. If there were 4 passengers in the first minute, how many passengers will there be in the fourth minute?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

64

संख्या = k * (t का वर्ग)। 4 = k * 1 का वर्ग, तो k = 4। चौथे मिनट में = 4 * 4 का वर्ग = 64।
Number = k * t². 4 = k * 1², so k = 4. In the fourth minute = 4 * 4² = 64.
232.
एक ट्रेन में पुरुष और महिला यात्रियों का अनुपात 7:5 है। यदि 20 पुरुष उतर जाते हैं और 10 महिलाएँ चढ़ जाती हैं, तो अनुपात 1:1 हो जाता है। ट्रेन में प्रारंभिक पुरुषों की संख्या क्या थी?
The ratio of male to female passengers in a train is 7:5. If 20 men get off and 10 women get on, the ratio becomes 1:1. What was the initial number of men in the train?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ड)

105

7x - 20 = 5x + 10। 2x = 30, x = 15। पुरुष = 7 * 15 = 105 (गलती सुधारें: 7x-20=5x+10 -> 2x=30, x=15, 7*15=105)
7x - 20 = 5x + 10. 2x = 30, x = 15. Men = 7 * 15 = 105.
233.
एक ट्रेन में कुल 120 सीटें हैं। यदि 20% सीटें खाली हैं, तो भरी हुई सीटों की संख्या क्या है?
A train has a total of 120 seats. If 20% of the seats are empty, what is the number of occupied seats?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

96

खाली सीटें = 120 का 20% = 24। भरी हुई सीटें = 120 - 24 = 96।
Empty seats = 20% of 120 = 24. Occupied seats = 120 - 24 = 96.
234.
समीकरण तीन अक्स माइनस पांच बराबर तेरह में अक्स का मान ज्ञात कीजिए।
Find the value of x in the equation 3x - 5 = 13.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

6

समीकरण को हल करने पर: 3x = 18, इसलिए x = 6।
Solving the equation: 3x = 18, therefore x = 6.
235.
समीकरण निकाय दो अक्स जमा तीन वाई बराबर आठ और अक्स माइनस दो वाई बराबर माइनस तीन को हल करें।
Solve the system of equations 2x + 3y = 8 and x - 2y = -3.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

x=1, y=2

दूसरे समीकरण से x = 2y - 3 प्राप्त करें और इसे पहले में रखें। हल करने पर x=1 और y=2 मिलता है।
Express x = 2y - 3 from the second equation and substitute into the first. Solving yields x=1 and y=2.
236.
यदि अक्स प्लस वाई बराबर दस और अक्स माइनस वाई बराबर दो है, तो अक्स गुणा वाई का मान क्या होगा?
If x + y = 10 and x - y = 2, what is the value of xy?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

24

समीकरणों को जोड़ने पर 2x=12, तो x=6। घटाने पर 2y=8, तो y=4। अतः x*y = 24।
Adding equations gives 2x=12, so x=6. Subtracting gives 2y=8, so y=4. Thus, x*y = 24.
237.
समीकरण पांच अक्स की घात दो बराबर अस्सी में अक्स का धनात्मक मान क्या है?
What is the positive value of x in the equation 5x² = 80?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

4

x² = 80/5 = 16. अतः x = √16 = 4।
x² = 80/5 = 16. Therefore, x = √16 = 4.
238.
यदि x का मान 2 है, तो 5x² का सही मान क्या होगा?
If the value of x is 2, what is the correct value of 5x²?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

20

यहाँ पहले घात का हल होता है, इसलिए 2 का वर्ग 4 होगा, फिर 5 गुणा 4 बराबर 20।
Order of operations dictates squaring first: 2 squared is 4, then 5 multiplied by 4 equals 20.
239.
यदि x + 1/x = 3 है, तो x² + 1/x² का मान ज्ञात कीजिए।
If x + 1/x = 3, find the value of x² + 1/x².
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

7

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर (x + 1/x)² = 3², जिससे x² + 1/x² + 2 = 9 प्राप्त होता है।
Squaring both sides gives (x + 1/x)² = 3², which leads to x² + 1/x² + 2 = 9, so the answer is 7.
240.
व्यंजक 2x² + 3x + 5 में x = -1 रखने पर क्या परिणाम मिलेगा?
What is the result of the expression 2x² + 3x + 5 when x = -1?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

4

मान रखने पर: 2(-1)² + 3(-1) + 5 = 2 - 3 + 5, जो 4 के बराबर है।
Substituting the value: 2(-1)² + 3(-1) + 5 = 2 - 3 + 5, which equals 4.
241.
x⁰ का मान क्या होता है (जहाँ x शून्य नहीं है)?
What is the value of x⁰ (where x is non-zero)?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

1

घातांक के नियम के अनुसार, किसी भी अशून्य संख्या की घात शून्य होने पर उसका मान 1 होता है।
According to the laws of exponents, any non-zero number raised to the power of zero is 1.
242.
यदि 3x = 12 है, तो 2x + 5 का मान क्या होगा?
If 3x = 12, what is the value of 2x + 5?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

13

पहले x का मान निकालें: x = 12/3 = 4। फिर 2(4) + 5 = 8 + 5 = 13।
First find x: x = 12/3 = 4. Then substitute: 2(4) + 5 = 8 + 5 = 13.
243.
समीकरण 4x - 2 = 2x + 6 में x का मान क्या है?
What is the value of x in the equation 4x - 2 = 2x + 6?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

4

समीकरण को हल करें: 2x = 8, इसलिए x = 4।
Solve the equation by rearranging: 2x = 8, therefore x = 4.
244.
समीकरण 2(x - 3) = 2x - 6 के कितने हल संभव हैं?
How many solutions exist for the equation 2(x - 3) = 2x - 6?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ड)

अनंत
Infinitely many

दोनों पक्ष समान हैं, इसलिए x का कोई भी मान समीकरण को संतुष्ट करेगा।
Both sides of the equation are identical, meaning any value of x will satisfy the equation.
245.
यदि x + 1/x = 3 है, तो x का वर्ग + 1/x का वर्ग का मान क्या होगा?
If x + 1/x = 3, what is the value of x squared + 1/x squared?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

7

सूत्र (a+b) का वर्ग = a का वर्ग + b का वर्ग + 2ab का उपयोग करें। यहाँ 3 का वर्ग - 2 = 7 होगा।
Use the formula (x + 1/x)² = x² + 1/x² + 2. Thus, 3² - 2 = 7.
246.
व्यंजक 16 - (4 का वर्ग) का मान क्या है?
What is the value of the expression 16 - (4 squared)?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

0

कोष्ठक के अंदर के मान का वर्ग करने पर 16 मिलता है, और 16 में से 16 घटाने पर 0 प्राप्त होता है।
Squaring the value inside the bracket gives 16, and subtracting 16 from 16 results in 0.
247.
यदि 5x - 3 = 2x + 9, तो x का मान ज्ञात कीजिए।
If 5x - 3 = 2x + 9, find the value of x.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

4

समान पदों को एक तरफ करने पर 3x = 12 प्राप्त होता है, जिससे x = 4 निकलता है।
Rearranging like terms gives 3x = 12, which simplifies to x = 4.
248.
यदि x का घन = 64 है, तो x का मान क्या है?
If x cubed = 64, what is the value of x?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

4

4 का घन (4 * 4 * 4) 64 के बराबर होता है।
4 cubed (4 * 4 * 4) is equal to 64.
249.
यदि 2 की घात x = 32 है, तो x का मान क्या है?
If 2 to the power of x = 32, what is the value of x?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

5

32 को 2 की घात के रूप में लिखने पर 2 की घात 5 प्राप्त होता है, इसलिए x = 5।
Writing 32 as a power of 2 gives 2⁵, therefore x = 5.
250.
व्यंजक 3x² + 5x - 8 का मान ज्ञात कीजिए यदि x = 2 है।
Find the value of the expression 3x² + 5x - 8 if x = 2.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

14

x के स्थान पर 2 रखने पर: 3(4) + 5(2) - 8 = 12 + 10 - 8 = 14।
Substitute 2 for x: 3(4) + 5(2) - 8 = 12 + 10 - 8 = 14.
251.
यदि a + b = 10 और ab = 21 है, तो a² + b² का मान क्या होगा?
If a + b = 10 and ab = 21, what is the value of a² + b²?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

58

सूत्र (a+b)² = a² + b² + 2ab का उपयोग करें। 10² = a² + b² + 2(21), जिससे 100 - 42 = 58 प्राप्त होता है।
Use the formula (a+b)² = a² + b² + 2ab. 10² = a² + b² + 2(21), giving 100 - 42 = 58.
252.
समीकरण 2x - 3y = 7 और x + y = 6 को हल करने पर x का मान क्या होगा?
Solving the equations 2x - 3y = 7 and x + y = 6, what is the value of x?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

5

दूसरी समीकरण से y = 6 - x रखने पर: 2x - 3(6 - x) = 7, जिससे 5x = 25 और x = 5 प्राप्त होता है।
Substitute y = 6 - x into the first equation: 2x - 3(6 - x) = 7, which gives 5x = 25 and x = 5.
253.
यदि 3^(x+2) = 81 है, तो x का मान क्या है?
If 3^(x+2) = 81, what is the value of x?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

2

81 को 3⁴ के रूप में लिखें। तब x + 2 = 4, जिससे x = 2 प्राप्त होता है।
Write 81 as 3⁴. Then x + 2 = 4, which gives x = 2.
254.
यदि (a+b) = 8 और (a-b) = 4 है, तो ab का मान क्या है?
If (a+b) = 8 and (a-b) = 4, what is the value of ab?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

12

सूत्र 4ab = (a+b)² - (a-b)² का उपयोग करें। 4ab = 64 - 16 = 48, इसलिए ab = 12।
Use the formula 4ab = (a+b)² - (a-b)². 4ab = 64 - 16 = 48, so ab = 12.
255.
समीकरण 5x + 2 = 3x + 12 में x का मान ज्ञात कीजिए।
Find the value of x in the equation 5x + 2 = 3x + 12.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

5

समान पदों को एक तरफ करने पर: 2x = 10, जिससे x = 5 प्राप्त होता है।
Grouping like terms: 2x = 10, which yields x = 5.
256.
यदि x³ - y³ = 56 और x - y = 2 है, तो x² + xy + y² का मान क्या होगा?
If x³ - y³ = 56 and x - y = 2, what is the value of x² + xy + y²?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

28

सूत्र x³ - y³ = (x-y)(x² + xy + y²) का उपयोग करें। 56 = 2 * (x² + xy + y²), जिससे मान 28 आता है।
Use the identity x³ - y³ = (x-y)(x² + xy + y²). 56 = 2 * (x² + xy + y²), so the value is 28.
257.
यदि समीकरण x + 5 = 12 में x का मान 7 है, तो 3x - 4 का मान क्या होगा?
If the value of x in the equation x + 5 = 12 is 7, what will be the value of 3x - 4?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

17

x का मान 7 रखने पर, 3(7) - 4 = 21 - 4 = 17 प्राप्त होता है।
Substituting x = 7, we get 3(7) - 4 = 21 - 4 = 17.
258.
यदि a + b = 10 और a - b = 2 है, तो a और b का गुणनफल (ab) क्या होगा?
If a + b = 10 and a - b = 2, what is the product of a and b (ab)?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

24

समीकरणों को हल करने पर a = 6 और b = 4 प्राप्त होता है, इसलिए ab = 6 * 4 = 24।
Solving the equations gives a = 6 and b = 4, therefore ab = 6 * 4 = 24.
259.
यदि 5(x - 3) = 2(x + 6) है, तो x का मान ज्ञात कीजिए।
If 5(x - 3) = 2(x + 6), find the value of x.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

9

समीकरण को खोलने पर 5x - 15 = 2x + 12 मिलता है, जिससे 3x = 27 और x = 9 प्राप्त होता है।
Expanding the equation gives 5x - 15 = 2x + 12, leading to 3x = 27 and x = 9.
260.
समीकरण प्रणाली 3x + 2y = 12 और 2x + 3y = 13 के लिए x + y का मान क्या है?
For the system of equations 3x + 2y = 12 and 2x + 3y = 13, what is the value of x + y?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

5

दोनों समीकरणों को जोड़ने पर 5x + 5y = 25 मिलता है, जिसे 5 से भाग देने पर x + y = 5 प्राप्त होता है।
Adding both equations gives 5x + 5y = 25, which simplifies to x + y = 5 when divided by 5.
261.
एक संख्या और उसके व्युत्क्रम का योग 2 है, तो वह संख्या क्या है?
The sum of a number and its reciprocal is 2. What is the number?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

1

यदि संख्या x है, तो x + 1/x = 2। केवल x = 1 इस समीकरण को संतुष्ट करता है।
If the number is x, then x + 1/x = 2. Only x = 1 satisfies this equation.
262.
समीकरण 3x - 5y = 10 और x + y = 6 को हल करने पर x का मान क्या होगा?
Solving the equations 3x - 5y = 10 and x + y = 6, what is the value of x?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

5

दूसरी समीकरण से y = 6 - x प्रतिस्थापित करें। इसे पहली समीकरण में रखने पर x का मान 5 प्राप्त होता है।
Substitute y = 6 - x from the second equation. Solving it in the first equation yields x = 5.
263.
व्यंजक (a+b)² - (a-b)² का सरलीकृत मान क्या है?
What is the simplified value of the expression (a+b)² - (a-b)²?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

4ab

विस्तार करने पर हमें (a² + b² + 2ab) - (a² + b² - 2ab) प्राप्त होता है, जो 4ab के बराबर है।
Expanding the terms gives (a² + b² + 2ab) - (a² + b² - 2ab), which simplifies to 4ab.
264.
यदि 2^x * 2³ = 2⁷ है, तो x का मान ज्ञात कीजिए।
If 2^x * 2³ = 2⁷, find the value of x.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

4

घातांक के नियम के अनुसार, आधार समान होने पर घातें जुड़ जाती हैं। अतः x + 3 = 7, जिससे x = 4 प्राप्त होता है।
According to the law of exponents, powers add up when bases are the same. Thus, x + 3 = 7, giving x = 4.
265.
दो संख्याओं का योग 20 है और उनका अंतर 4 है। बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए।
The sum of two numbers is 20 and their difference is 4. Find the larger number.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

12

x+y=20 और x-y=4। जोड़ने पर 2x=24, जिससे x=12 प्राप्त होता है।
x+y=20 and x-y=4. Adding the equations gives 2x=24, so x=12.
266.
यदि p³ - q³ = (p-q)(p² + pq + q²) सूत्र का उपयोग करें, तो 10³ - 5³ का मान क्या होगा?
Using the formula p³ - q³ = (p-q)(p² + pq + q²), what is the value of 10³ - 5³?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

875

(10-5)(100+50+25) = 5 * 175 = 875।
(10-5)(100+50+25) = 5 * 175 = 875.
267.
व्यंजक 16 - (4 + 2) का सरलीकृत मान क्या है?
What is the simplified value of the expression 16 - (4 + 2)?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

10

कोष्ठक के अंदर की संख्या को पहले जोड़ें: 16 - 6 = 10। गलत तरीके से घटाने पर 14 आ सकता है।
Add the numbers inside the parentheses first: 16 - 6 = 10. Subtracting incorrectly might lead to 14.
268.
समीकरण x/4 = 2 में x का मान क्या है?
What is the value of x in the equation x/4 = 2?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

8

x को ज्ञात करने के लिए 2 को 4 से गुणा करना होगा, जिससे 8 प्राप्त होता है। छात्र 2 को 4 से भाग देकर 0.5 गलती से लिख सकते हैं।
To find x, multiply 2 by 4, which gives 8. Students might mistakenly divide 2 by 4 to get 0.5.
269.
यदि y = 3x + 2 है, तो x = 4 पर y का मान क्या होगा?
If y = 3x + 2, what is the value of y when x = 4?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

14

y = 3(4) + 2 = 12 + 2 = 14। छात्र अक्सर पहले 4+2 जोड़कर 3*6=18 कर देते हैं, जो गलत है।
y = 3(4) + 2 = 12 + 2 = 14. Students often add 4+2 first to get 3*6=18, which is incorrect.
270.
समीकरण 5x - 10 = 2x + 5 में x का मान क्या है?
What is the value of x in the equation 5x - 10 = 2x + 5?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

5

3x = 15, इसलिए x = 15/3 = 5। पदों को गलत स्थानांतरित करने से गलत उत्तर मिल सकता है।
3x = 15, so x = 15/3 = 5. Transposing terms incorrectly can lead to the wrong answer.
271.
यदि x का मान 2 है, तो समीकरण 5x² का सही मान क्या होगा?
If the value of x is 2, what is the correct value of the expression 5x²?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

20

घात का नियम पहले लागू होता है। 2 का वर्ग 4 होता है, और 5 गुणा 4 बराबर 20 है।
Order of operations (BODMAS) requires exponentiation before multiplication. 2 squared is 4, and 5 × 4 equals 20.
272.
समीकरण 3x + 5 = 14 में x का मान ज्ञात कीजिए।
Find the value of x in the equation 3x + 5 = 14.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

3

5 को दाईं ओर ले जाने पर 3x = 9 मिलता है, इसलिए x = 3 है।
Subtracting 5 from 14 gives 3x = 9, so x = 3.
273.
समीकरण प्रणाली 2x + y = 5 और 3x + 2y = 8 में y का मान क्या है?
What is the value of y in the system of equations 2x + y = 5 and 3x + 2y = 8?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

1

पहले समीकरण को 2 से गुणा करें: 4x + 2y = 10। अब दूसरे को घटाने पर x = 2 मिलता है, जिससे y = 1 होता है।
Multiply the first equation by 2 to get 4x + 2y = 10. Subtracting the second equation yields x = 2, which gives y = 1.
274.
यदि x/3 = y/4 है, तो x:y का अनुपात क्या है?
If x/3 = y/4, what is the ratio x:y?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

3:4

समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर x/y = 3/4 प्राप्त होता है।
Rearranging the equation gives x/y = 3/4, which translates to the ratio 3:4.
275.
यदि x + y = 12 और xy = 27 है, तो x² + y² का मान क्या है?
If x + y = 12 and xy = 27, what is the value of x² + y²?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

90

x²+y² = (x+y)²-2xy = 144-54 = 90।
x²+y² = (x+y)²-2xy = 144-54 = 90.
276.
व्यंजक (a + b)² - (a - b)² किसके बराबर है?
The expression (a + b)² - (a - b)² is equal to which of the following?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

4ab

बीजगणितीय सर्वसमिका के अनुसार, (a + b)² - (a - b)² का विस्तार 4ab होता है।
According to the algebraic identity, the expansion of (a + b)² - (a - b)² equals 4ab.
277.
यदि 3x - 9 = 0 है, तो x का मान ज्ञात कीजिए।
If 3x - 9 = 0, find the value of x.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

3

3x = 9 रखने पर, x का मान 9 को 3 से भाग देने पर 3 प्राप्त होता है।
Setting 3x = 9, dividing 9 by 3 gives x = 3.
278.
समीकरण 2x + 3y = 7 और x - y = 1 में y का मान क्या है?
In the equations 2x + 3y = 7 and x - y = 1, what is the value of y?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

1

दूसरे समीकरण से x = y + 1 प्राप्त होता है। इसे पहले समीकरण में रखने पर 2(y+1) + 3y = 7, जिससे y = 1 मिलता है।
From the second equation, x = y + 1. Substituting this into the first equation yields 2(y+1) + 3y = 7, giving y = 1.
279.
यदि a² - b² = 24 और a + b = 6 है, तो a - b का मान क्या होगा?
If a² - b² = 24 and a + b = 6, what is the value of a - b?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

4

सूत्र a² - b² = (a+b)(a-b) का उपयोग करते हुए, 24 = 6 * (a-b), जिससे a-b = 4 आता है।
Using the formula a² - b² = (a+b)(a-b), we get 24 = 6 * (a-b), therefore a-b = 4.
280.
यदि 5(x - 2) = 3(x + 4) है, तो x का मान क्या है?
If 5(x - 2) = 3(x + 4), what is the value of x?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

11

समीकरण को खोलने पर 5x - 10 = 3x + 12 मिलता है, जिसे हल करने पर 2x = 22 और x = 11 आता है।
Expanding the equation gives 5x - 10 = 3x + 12, which simplifies to 2x = 22, hence x = 11.
281.
समीकरण निकाय 2x + y = 5 और 3x - 2y = 4 का हल क्या है?
What is the solution to the system of equations 2x + y = 5 and 3x - 2y = 4?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

x=2, y=1

विलोपन विधि का उपयोग करते हुए, x = 2 और y = 1 प्राप्त होते हैं जो दोनों समीकरणों को संतुष्ट करते हैं।
Using the elimination method, we find x = 2 and y = 1, which satisfy both equations.
282.
दिए गए समीकरण 3x - 7 = 2x + 5 में x का मान ज्ञात करें।
Find the value of x in the given equation 3x - 7 = 2x + 5.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

12

x वाले पदों को एक तरफ और संख्याओं को दूसरी तरफ ले जाने पर 3x - 2x = 5 + 7 प्राप्त होता है।
Rearranging terms to put x on one side and constants on the other, 3x - 2x = 5 + 7 gives x = 12.
283.
यदि a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) है, तो 10³ - 5³ का मान क्या होगा?
If a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²), what is the value of 10³ - 5³?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

875

1000 - 125 = 875 होता है, जो सूत्र का उपयोग करके भी प्राप्त किया जा सकता है।
Calculating 1000 - 125 directly or using the identity results in 875.
284.
यदि 5x = 25 है, तो x का मान क्या है?
If 5x = 25, what is the value of x?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

5

समीकरण के दोनों पक्षों को 5 से विभाजित करने पर x = 5 प्राप्त होता है।
Dividing both sides of the equation by 5 gives x = 5.
285.
यदि p = 99 है, तो p(p² + 3p + 3) का मान क्या होगा?
If p = 99, what is the value of p(p² + 3p + 3)?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

999999

यह (p+1)³ - 1 का विस्तार है। (99+1)³ - 1 = 1000000 - 1 = 999999।
This is the expansion of (p+1)³ - 1. (99+1)³ - 1 = 1000000 - 1 = 999999.
286.
यदि 5x - 3 = 12 है, तो x का मान ज्ञात करें।
If 5x - 3 = 12, find the value of x.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

3

3 को दाईं ओर ले जाने पर 5x = 15 प्राप्त होता है, जिससे x = 3 मिलता है।
Moving 3 to the right gives 5x = 15, which results in x = 3.
287.
बीजगणित में, चर (variable) का क्या अर्थ होता है?
In algebra, what is the meaning of a variable?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

एक मान जो बदल सकता है
A value that can change

चर वह प्रतीक है जिसका मान समीकरण में बदल सकता है, जबकि अचर का मान स्थिर रहता है।
A variable is a symbol whose value can change in an equation, whereas a constant has a fixed value.
288.
व्यंजक (x² + 5x + 6) में पदों की संख्या कितनी है?
How many terms are there in the expression (x² + 5x + 6)?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

तीन
Three

व्यंजक x², 5x और 6 से मिलकर बना है, इसलिए इसमें तीन पद हैं।
The expression is made up of x², 5x, and 6, therefore it has three terms.
289.
यदि 3x + 5 = 14 है, तो x का मान ज्ञात कीजिए।
If 3x + 5 = 14, find the value of x.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

3

समीकरण को हल करने पर, 3x = 14 - 5 = 9, इसलिए x = 9/3 = 3।
Solving the equation, 3x = 14 - 5 = 9, so x = 9/3 = 3.
290.
निम्नलिखित में से कौन सा एक द्विपद (binomial) व्यंजक है?
Which of the following is a binomial expression?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

x + 5

द्विपद वह व्यंजक होता है जिसमें केवल दो पद होते हैं, जैसे x + 5।
A binomial is an expression that contains exactly two terms, such as x + 5.
291.
व्यंजक 7x² में '7' को क्या कहा जाता है?
In the expression 7x², what is '7' called?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

गुणांक
Coefficient

किसी चर के साथ गुणा होने वाली संख्या को गुणांक (coefficient) कहते हैं।
The number multiplied by a variable is called the coefficient.
292.
यदि x = 2 और y = 3 है, तो (x² + y) का मान क्या होगा?
If x = 2 and y = 3, what is the value of (x² + y)?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

7

मान रखने पर: 2² + 3 = 4 + 3 = 7 प्राप्त होता है।
Substituting the values: 2² + 3 = 4 + 3 = 7.
293.
समान पद (like terms) की पहचान करें:
Identify the like terms:
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

5a और 7a
5a and 7a

समान पद वे होते हैं जिनमें चर और उनकी घातें एक समान होती हैं, जैसे 5a और 7a।
Like terms are those that have the same variables raised to the same powers, such as 5a and 7a.
294.
एक रैखिक समीकरण (linear equation) में चर की अधिकतम घात कितनी होती है?
What is the maximum degree of a variable in a linear equation?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

एक
One

रैखिक समीकरण वह होता है जिसमें चर की अधिकतम घात 1 होती है।
A linear equation is one in which the maximum degree of the variable is 1.
295.
यदि x का मान 5 है, तो व्यंजक 3x² - 2x + 7 का मान क्या होगा?
If the value of x is 5, what is the value of the expression 3x² - 2x + 7?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

72

x का मान 5 रखने पर: 3(25) - 2(5) + 7 = 75 - 10 + 7 = 72.
Substituting x = 5: 3(25) - 2(5) + 7 = 75 - 10 + 7 = 72.
296.
यदि x + y = 10 और x - y = 4 है, तो x का मान ज्ञात कीजिए।
If x + y = 10 and x - y = 4, find the value of x.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

7

दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: 2x = 14, इसलिए x = 7.
Adding both equations gives 2x = 14, therefore x = 7.
297.
निम्नलिखित में से कौन सा समीकरण रैखिक समीकरण (linear equation) है?
Which of the following is a linear equation?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

2x + 3y = 7

रैखिक समीकरण में चर की अधिकतम घात 1 होती है।
In a linear equation, the maximum power of the variable is 1.
298.
यदि x/4 + x/5 = 18 है, तो x का मान क्या है?
If x/4 + x/5 = 18, what is the value of x?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

40

x/4+x/5 = 5x/20+4x/20 = 9x/20 = 18 => x = 18×20/9 = 40।
x/4+x/5 = 5x/20+4x/20 = 9x/20 = 18 => x = 18×20/9 = 40.
299.
समीकरण 4x - 7 = 2x + 5 में x का मान ज्ञात कीजिए।
Find the value of x in the equation 4x - 7 = 2x + 5.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

6

4x - 2x = 5 + 7, यानी 2x = 12, इसलिए x = 6.
4x - 2x = 5 + 7, which means 2x = 12, so x = 6.
300.
एक रेलवे टिकट काउंटर पर पहले दिन कुल एक्स टिकट बिके और दूसरे दिन उससे दस टिकट अधिक बिके। यदि दोनों दिनों में बेचे गए कुल टिकटों की संख्या एक सौ है, तो पहले दिन कितने टिकट बिके?
At a railway ticket counter, a total of x tickets were sold on the first day and ten more tickets than that on the second day. If the total number of tickets sold on both days is one hundred, how many tickets were sold on the first day?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

पैंतालीस
45

समीकरण x + (x + 10) = 100 बनता है, जिसे हल करने पर 2x = 90 यानी x = 45 प्राप्त होता है।
The equation is x + (x + 10) = 100, which simplifies to 2x = 90, giving x = 45.
301.
एक मालगाड़ी के दो डिब्बों की लंबाई क्रमशः x प्लस तीन मीटर और दो x माइनस एक मीटर है। यदि दोनों डिब्बों की लंबाई समान है, तो x का मान क्या है?
The lengths of two wagons of a freight train are x plus three meters and two x minus one meters respectively. If the lengths of both wagons are equal, what is the value of x?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

चार
4

समान लंबाई के अनुसार x + 3 = 2x - 1, जिससे x का मान 4 आता है।
Equating the lengths: x + 3 = 2x - 1, which yields x = 4.
302.
एक रेलवे स्टेशन के आयताकार प्लेटफॉर्म की लंबाई उसकी चौड़ाई से पाँच मीटर अधिक है। यदि प्लेटफॉर्म का परिमाप एक सौ दस मीटर है, तो उसकी लंबाई कितनी है?
The length of a rectangular railway platform is five meters more than its width. If the perimeter of the platform is one hundred ten meters, what is its length?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

तीस मीटर
30 meters

चौड़ाई को w मानकर परिमाप 2(w + w + 5) = 110 हल करने पर w = 25 और लंबाई 30 मीटर मिलती है।
Let width be w, perimeter 2(w + w + 5) = 110 gives w = 25, so length is 30 meters.
303.
एक ट्रेन के गार्ड ने देखा कि एक विशेष स्टेशनरी खंभे को पार करने वाले डिब्बों की संख्या का वर्ग, डिब्बों की कुल संख्या के तिगुने से चौदह अधिक है। डिब्बों की संख्या ज्ञात कीजिए।
A train guard observed that the square of the number of coaches passing a stationary pole is fourteen more than three times the total number of coaches. Find the number of coaches.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

सात
7

द्विघात समीकरण x² - 3x - 14 = 0 को संतुष्ट करने वाली धनात्मक संख्या 7 है।
The quadratic equation x² - 3x - 14 = 0 is satisfied by the positive integer 7.
304.
रेलवे के एक ठेकेदार के पास श्रमिकों को देने के लिए कुछ राशि है। यदि वह प्रत्येक श्रमिक को पंद्रह रुपये दे, तो छह सौ रुपये कम पड़ जाते हैं, और यदि वह प्रत्येक को दस रुपये दे, तो चार सौ रुपये बच जाते हैं। श्रमिकों की संख्या क्या है?
A railway contractor has a certain amount of money to pay workers. If he gives fifteen rupees to each worker, he falls short by six hundred rupees, and if he gives ten rupees to each, four hundred rupees are left over. What is the number of workers?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

दो सौ
200

श्रमिकों की संख्या n के लिए समीकरण 15n - 600 = 10n + 400 बनता है, जिससे 5n = 1000, n = 200।
Using equation 15n - 600 = 10n + 400 gives 5n = 1000, so n = 200 workers.
305.
एक आरपीएफ कर्मी ने अपराधियों को पकड़ने के लिए बुलेट की गति का समीकरण v बराबर तीन टी वर्ग माइनस चार टी प्लस पांच उपयोग किया। समय t बराबर दो सेकंड पर बुलेट की गति क्या होगी?
An RPF personnel used the bullet velocity equation v equals three t squared minus four t plus five. What will be the velocity of the bullet at time t equals two seconds?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

नौ इकाई
9 units

t = 2 रखने पर v = 3(4) - 4(2) + 5 = 12 - 8 + 5 = 9 इकाई प्राप्त होता है।
Substituting t = 2 yields v = 3(4) - 4(2) + 5 = 12 - 8 + 5 = 9 units.
306.
दो रेलवे स्टेशनों के बीच की दूरी x और y के पदों में (x वर्ग माइनस y वर्ग) किलोमीटर है। यदि ट्रेन की गति (x माइनस y) किलोमीटर प्रति घंटा है, तो यात्रा में लगने वाला समय कितना होगा?
The distance between two railway stations in terms of x and y is (x squared minus y squared) kilometers. If the train speed is (x minus y) kilometers per hour, what will be the travel time?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

x प्लस y घंटे
x plus y hours

समय = दूरी / गति = (x² - y²) / (x - y) = (x + y)(x - y) / (x - y) = (x + y) घंटे।
Time = Distance / Speed = (x² - y²) / (x - y) = (x + y) hours.
307.
एक ट्रेन के इंजन और डिब्बों के कुल वजन का बीजीय व्यंजक चार एक्स वर्ग प्लस बारह एक्स प्लस नौ है। यदि इसे पूर्ण वर्ग के रूप में लिखा जाए, तो व्यंजक का मूल आधार क्या होगा?
The algebraic expression for the total weight of a train engine and coaches is four x squared plus twelve x plus nine. If written as a complete square, what is the base expression?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

दो एक्स प्लस तीन
two x plus three

4x² + 12x + 9 को (2x)² + 2(2x)(3) + (3)² यानी (2x + 3)² के रूप में लिखा जा सकता है।
4x² + 12x + 9 can be factored as (2x + 3)².
308.
एक रेलवे गोदाम में रखे बक्से की कुल संख्या p और q का अनुपात पांच अनुपात तीन है। यदि p में से चार घटाया जाए और q में चार जोड़ा जाए, तो नया अनुपात एक अनुपात एक हो जाता है। p का प्रारंभिक मान क्या है?
The ratio of the total number of boxes p and q in a railway warehouse is five to three. If four is subtracted from p and four is added to q, the new ratio becomes one to one. What is the initial value of p?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

बीस
20

मान लीजिए p = 5x और q = 3x। (5x - 4) = (3x + 4) से 2x = 8 यानी x = 4, अतः p = 20।
Let p = 5x and q = 3x. (5x - 4) = (3x + 4) gives 2x = 8, so x = 4, making p = 20.
309.
x(3x - 8) + 3(x² -5) + 11 को सरल कीजिए।
Simplify x(3x - 8) + 3(x2 -5) + 11.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

6x² - 8x - 4
6x2 - 8x - 4

सही उत्तर: 6x² - 8x - 4 (आधिकारिक उत्तर कुंजी)।
Correct answer: 6x2 - 8x - 4 (official answer key).
310.
एक द्विघात समीकरण x² − 6x + k = 0 द्वारा दिया गया है। k का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए समीकरण के वास्तविक मूल बराबर हों।
A quadratic equation is given by x2 − 6x + k = 0. Find the value of k for which the equation has equal real roots.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ड)

9

समान मूलों के लिए विविक्तकर b² − 4ac = 0: 36 − 4k = 0, अतः k = 9। अतः उत्तर 9 है।
Equal roots need discriminant b² − 4ac = 0: 36 − 4k = 0, so k = 9. So the answer is 9.
311.
द्विघात समीकरण 3x² − 5x + 2 = 0 के मूलों की प्रकृति क्‍या है?
What is the nature of the roots of the quadratic equation 3x2 − 5x + 2 = 0?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

दो भिन्न वास्तविक मूल
Two distinct real roots

विविक्तकर D = b² − 4ac = 25 − 4 × 3 × 2 = 1, जो धनात्मक है। अतः समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल हैं (x = 1 और x = 2/3)।
Discriminant D = b² − 4ac = 25 − 4 × 3 × 2 = 1, which is positive. So the equation has two distinct real roots (x = 1 and x = 2/3).
312.
निम्न को सरल कीजिए। x(3x − 6) + 5(x² − 4) + 19
Simplify the following. x(3x − 6) + 5(x2 − 4) + 19
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ड)

8x² − 6x − 1
8x2 − 6x − 1

x(3x − 6) = 3x² − 6x और 5(x² − 4) = 5x² − 20। जोड़ने पर: 3x² − 6x + 5x² − 20 + 19 = 8x² − 6x − 1।
x(3x − 6) = 3x² − 6x and 5(x² − 4) = 5x² − 20. Sum: 3x² − 6x + 5x² − 20 + 19 = 8x² − 6x − 1.
313.
दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 960 है। यदि इन दो पूर्णांकों में से छोटे पूर्णांक को x द्वारा निरूपित किया जाता है, तो नीचे दिए गए विकल्पों में से कौन-सा विकल्प x का मान ज्ञात करने के लिए समीकरण के संगत होगा?
The product of two consecutive positive integers is 960. If the smaller of these two integers is denoted by x, which of the options given below corresponds to the equation for finding the value of x?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ड)

x² + x − 960 = 0
x2 + x − 960 = 0

सही उत्तर: x² + x − 960 = 0 (आधिकारिक उत्तर कुंजी)।
Correct answer: x2 + x − 960 = 0 (official answer key).
314.
(5pq + 16q)² - (5pq - 16q)² को सरल कीजिए।
Simplify (5pq + 16q)² - (5pq - 16q)².
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

320pq2

(a + b)² − (a − b)² = 4ab। यहाँ a = 5pq और b = 16q: 4 × 5pq × 16q = 320pq²। अतः उत्तर 320pq² है।
(a + b)² − (a − b)² = 4ab. With a = 5pq and b = 16q: 4 × 5pq × 16q = 320pq². So the answer is 320pq².
315.
x(5x − 9) + 7(x² − 2) + 17 को सरल करें।
Simplify x(5x − 9) + 7(x2 − 2) + 17.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

12x² − 9x + 3
12x2 − 9x + 3

x(5x − 9) + 7(x² − 2) + 17 = 5x² − 9x + 7x² − 14 + 17 = 12x² − 9x + 3।
x(5x − 9) + 7(x² − 2) + 17 = 5x² − 9x + 7x² − 14 + 17 = 12x² − 9x + 3.
316.
नीचे दिए गए विकल्पों में से कौन-सा, 27x³ + 343y³ + 189x²y + 441xy² के तुल्‍य है?
Which of the options given below is equivalent to 27x3 + 343y3 + 189x2y + 441xy2?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ड)

(3x + 7y)³
(3x + 7y)3

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ में a = 3x, b = 7y रखें: 27x³ + 3(9x²)(7y) + 3(3x)(49y²) + 343y³ = 27x³ + 189x²y + 441xy² + 343y³। अतः उत्तर (3x + 7y)³ है।
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ with a = 3x, b = 7y: 27x³ + 3(9x²)(7y) + 3(3x)(49y²) + 343y³ = 27x³ + 189x²y + 441xy² + 343y³. So the answer is (3x + 7y)³.
317.
[(3x + 4y)² − (3x − 4y)²] ÷ (24xy) को सरल कीजिए।
Simplify [(3x + 4y)² − (3x − 4y)²] ÷ (24xy).
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

2

(a + b)² − (a − b)² = 4ab का प्रयोग करें। a = 3x, b = 4y: 4 × 3x × 4y = 48xy। फिर 48xy ÷ 24xy = 2। अतः उत्तर 2 है।
Use (a + b)² − (a − b)² = 4ab. With a = 3x, b = 4y: 4 × 3x × 4y = 48xy. Then 48xy ÷ 24xy = 2. So the answer is 2.
318.
यदि (x + 3) और (x − 3) का माध्यानुपाती 4 है, तो x का मान ज्ञात कीजिए; जबकि x > 0 है।
If the mean proportional between (x + 3) and (x − 3) is 4, find the value of x, where x > 0.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

5

मध्यानुपाती = √((x + 3)(x − 3)) = 4, अतः x² − 9 = 16, x² = 25 और x = 5 (x > 0)। उत्तर 5 है।
Mean proportional = √((x + 3)(x − 3)) = 4, so x² − 9 = 16, x² = 25, and x = 5 (x > 0). So the answer is 5.
319.
यदि x + y = 16 और x + y = 4 है, तो xy का मान ज्ञात कीजिए।
If x + y = 16 and x + y = 4, what is the value of xy?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

4

सही उत्तर: 4 (आधिकारिक उत्तर कुंजी)।
Correct answer: 4 (official answer key).
320.
दिए गए व्यंजक को सरल कीजिए। (5z − 9y)² + (9z + 5y)² − 81z²
Simplify the given expression. (5z − 9y)2 + (9z + 5y)2 − 81z2
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

25z² + 106y²
25z2 + 106y2

(5z − 9y)² = 25z² − 90yz + 81y² और (9z + 5y)² = 81z² + 90yz + 25y²। जोड़ने पर 106z² + 106y²; इसमें से 81z² घटाने पर 25z² + 106y² शेष रहता है।
(5z − 9y)² = 25z² − 90yz + 81y² and (9z + 5y)² = 81z² + 90yz + 25y². Adding gives 106z² + 106y²; subtracting 81z² leaves 25z² + 106y².
321.
यदि 72 : y :: y : 50 है, तो y का धनात्मक मान ज्ञात कीजिए।
If 72 : y :: y : 50, find the positive value of y.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ड)

60

सही उत्तर: 60 (आधिकारिक उत्तर कुंजी)।
Correct answer: 60 (official answer key).
322.
यदि 2x + 3y = 8 और 4x² + 9y² = 32 है, तो 8x³ + 27y³ का मान ज्ञात कीजिए।
If 2x + 3y = 8 and 4x² + 9y² = 32, find the value of 8x³ + 27y³.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

128

(2x + 3y)² = 64 = 32 + 12xy, अतः 6xy = 16. 8x³ + 27y³ = (2x + 3y)³ − 3(2x)(3y)(2x + 3y) = 512 − 3 × 16 × 8 = 512 − 384 = 128.
(2x + 3y)² = 64 = 4x² + 9y² + 12xy = 32 + 12xy, so 6xy = 16. 8x³ + 27y³ = (2x + 3y)³ − 3(2x)(3y)(2x + 3y) = 512 − 3 × 16 × 8 = 512 − 384 = 128.
323.
यदि x = 5³ × 5² है, तो x ÷ 5⁴ का मान ज्ञात कीजिए।
If x = 5³ × 5², then what is the value of x ÷ 5⁴?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

5

x = 5³ × 5² = 5⁵। तब x ÷ 5⁴ = 5⁵⁻⁴ = 5। अतः उत्तर 5 है।
x = 5³ × 5² = 5⁵. Then x ÷ 5⁴ = 5⁵⁻⁴ = 5. So the answer is 5.
324.
4³ × 6² × 15, 4² × 15² × 19 और 6³ × 15² × 19² का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात कीजिए।
Find the LCM of 43 × 62 × 15, 42 × 152 × 19 and 63 × 152 × 192.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

2⁸ x 3⁵ x 5² x 19²
28 x 35 x 52 x 192

4³ × 6² × 15 = 2⁸ × 3³ × 5; 4² × 15² × 19 = 2⁴ × 3² × 5² × 19; 6³ × 15² × 19² = 2³ × 3⁵ × 5² × 19²। LCM में अधिकतम घात: 2⁸ × 3⁵ × 5² × 19²। अतः उत्तर 28 x 35 x 52 x 192 है।
4³ × 6² × 15 = 2⁸ × 3³ × 5; 4² × 15² × 19 = 2⁴ × 3² × 5² × 19; 6³ × 15² × 19² = 2³ × 3⁵ × 5² × 19². LCM takes highest powers: 2⁸ × 3⁵ × 5² × 19². So the answer is 28 x 35 x 52 x 192.
325.
यदि x = 5 और y = −5 है, तो 64x³ + 27y³ + 144x²y + 108xy² का मान ज्ञात कीजिए।
If x = 5 and y = −5, find the value of 64x3 + 27y3 + 144x2y + 108xy2.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ड)

125

व्यंजक (4x + 3y)³ = 64x³ + 27y³ + 144x²y + 108xy² है। x = 5, y = −5 रखने पर: (20 − 15)³ = 5³ = 125।
The expression is (4x + 3y)³ = 64x³ + 27y³ + 144x²y + 108xy². With x = 5, y = −5: (20 − 15)³ = 5³ = 125.
326.
(3x + 2)² को सरल करें।
Simplify: (3x + 2)²
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

9x² + 12x + 4

(a + b)² = a² + 2ab + b²। अतः (3x + 2)² = 9x² + 2 × 3x × 2 + 4 = 9x² + 12x + 4।
(a + b)² = a² + 2ab + b². So (3x + 2)² = 9x² + 2 × 3x × 2 + 4 = 9x² + 12x + 4.
327.
यदि समीकरण x² – 3px + q = 0 और x² – 2kx + t = 0 का एक मूल उभयनिष्ठ है, और पहले समीकरण के मूल बराबर हैं, तो (t + q)² का मान क्या है?
If the equations x2 – 3px + q = 0 and x2 – 2kx + t = 0 have one root in common, and the roots of the first equation are equal, then what is the value of (t + q)2?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

9p2k2

पहले समीकरण के मूल बराबर हैं, अतः मूल 3p/2 और q = (3p/2)² = 9p²/4। यह मूल x² − 2kx + t = 0 का भी मूल है: 9p²/4 − 3pk + t = 0, अतः t = 3pk − 9p²/4। तब t + q = 3pk और (t + q)² = 9p²k²।
The first equation has equal roots, so the root is 3p/2 and q = (3p/2)² = 9p²/4. This root is also a root of x² − 2kx + t = 0: 9p²/4 − 3pk + t = 0, so t = 3pk − 9p²/4. Then t + q = 3pk and (t + q)² = 9p²k².
328.
एक घन की एक भुजा की लंबाई (2x − 5) cm है। घन का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
The length of a side of a cube is (2x − 5) cm. What is total surface area of the cube?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

24x² − 120x + 150
24x² −120x+150

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6a² = 6(2x − 5)² = 6(4x² − 20x + 25) = 24x² − 120x + 150। अतः उत्तर 24x² −120x+150 है।
Total surface area = 6a² = 6(2x − 5)² = 6(4x² − 20x + 25) = 24x² − 120x + 150. So the answer is 24x² −120x+150.
329.
यदि x, x + 1, 2x + 3 का चतुर्थानुपाती y है और y = 3x + 3 है, तो x का धनात्मक पूर्णांक मान ज्ञात कीजिए।
If y is the fourth proportional to x, x + 1 and 2x + 3, and y = 3x + 3, find the positive integer value of x.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

3

चतुर्थानुपाती: x : (x + 1) = (2x + 3) : y, अतः y = (x + 1)(2x + 3) ÷ x। y = 3x + 3 रखने पर: (x + 1)(2x + 3) = 3x(x + 1) → 2x + 3 = 3x → x = 3।
Fourth proportional: x : (x + 1) = (2x + 3) : y, so y = (x + 1)(2x + 3) ÷ x. With y = 3x + 3: (x + 1)(2x + 3) = 3x(x + 1) → 2x + 3 = 3x → x = 3.
330.
निम्नलिखित को सरल कीजिए: (2a + 3b)² – (2a – 3b)²
Simplify: (2a + 3b)² – (2a – 3b)²
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

24ab

(x + y)² − (x − y)² = 4xy, जहाँ x = 2a, y = 3b: 4 × 2a × 3b = 24ab. अतः उत्तर 24ab है।
Using (x + y)² − (x − y)² = 4xy with x = 2a, y = 3b: 4 × 2a × 3b = 24ab. So the answer is 24ab.
331.
यदि X − Y = 20 और XY = 12 है, तो X² + Y² का मान ज्ञात कीजिए।
If X − Y = 20 and XY = 12, then find the value of X² + Y².
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

424

X² + Y² = (X − Y)² + 2XY = 20² + 2 × 12 = 400 + 24 = 424। अतः उत्तर 424 है।
X² + Y² = (X − Y)² + 2XY = 20² + 2 × 12 = 400 + 24 = 424. So the answer is 424.
332.
यदि a + b + c = 6, abc = −60 और a³ + b³ + c³ = 162 है, तो ab + bc + ca का मान ज्ञात कीजिए।
If a + b + c = 6, abc = −60 and a³ + b³ + c³ = 162, find the value of ab + bc + ca.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

−7

a³+b³+c³ − 3abc = (a+b+c)(a²+b²+c² − ab−bc−ca)। माना q = ab+bc+ca; a²+b²+c² = 36 − 2q। अतः 162 + 180 = 6(36 − 3q), यानी 57 = 36 − 3q और q = −7।
a³+b³+c³ − 3abc = (a+b+c)(a²+b²+c² − ab−bc−ca). Let q = ab+bc+ca; a²+b²+c² = 36 − 2q. So 162 + 180 = 6(36 − 3q), giving 57 = 36 − 3q and q = −7.
333.
[(4x - 5y)² + 80xy] ÷ [(4x + 5y)²] को सरल कीजिए।
Simplify [(4x - 5y)² + 80xy] ÷ [(4x + 5y)²].
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

1

(4x − 5y)² + 80xy = 16x² − 40xy + 25y² + 80xy = 16x² + 40xy + 25y² = (4x + 5y)²। (4x + 5y)² से भाग देने पर 1 मिलता है। अतः उत्तर 1 है।
(4x − 5y)² + 80xy = 16x² − 40xy + 25y² + 80xy = 16x² + 40xy + 25y² = (4x + 5y)². Dividing by (4x + 5y)² gives 1. So the answer is 1.
334.
दिए गए व्यंजक को सरलीकृत कीजिए। x(7x − 5) + 7(x² − 2) + 18
Simplify the given expression. x(7x − 5) + 7(x2 − 2) + 18
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

14x² − 5x + 4
14x2 − 5x + 4

x(7x − 5) = 7x² − 5x और 7(x² − 2) = 7x² − 14। जोड़ने पर: 7x² − 5x + 7x² − 14 + 18 = 14x² − 5x + 4। अतः उत्तर 14x² − 5x + 4 है।
x(7x − 5) = 7x² − 5x and 7(x² − 2) = 7x² − 14. Sum: 7x² − 5x + 7x² − 14 + 18 = 14x² − 5x + 4. So the answer is 14x² − 5x + 4.
335.
(x − 2)² निम्‍नलिखित में से किसके बराबर है?
(x − 2)² is equal to which of the following?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

x² − 4x + 4

(a − b)² = a² − 2ab + b² से: (x − 2)² = x² − 2 × x × 2 + 2² = x² − 4x + 4।
Using (a − b)² = a² − 2ab + b²: (x − 2)² = x² − 2 × x × 2 + 2² = x² − 4x + 4.
336.
यदि 8 : 12 = 20 : x है, तो x का मान ज्ञात कीजिए।
If 8 : 12 = 20 : x, find the value of x.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

30

8 : 12 = 20 : x से x = 12 × 20 ÷ 8 = 240 ÷ 8 = 30। अतः x = 30।
8 : 12 = 20 : x gives x = 12 × 20 ÷ 8 = 240 ÷ 8 = 30. So x = 30.
337.
दिए गए रैखिक समीकरणों के निकाय के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं। 3x + 7y = 15 ax + by = 30 a और b के मान ज्ञात कीजिए।
The given system of linear equations has infinitely many solutions. 3x + 7y = 15 ax + by = 30 Find the values of a and b.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

a = 6; b = 14

अनंत हलों के लिए a/3 = b/7 = 30/15 = 2। अतः a = 6 और b = 14।
For infinitely many solutions, a/3 = b/7 = 30/15 = 2. So a = 6 and b = 14.
338.
यदि 5^(x − y) = 3125 और 3^(3x + y) = 2187 है, तो 19x − 18y का मान ज्ञात कीजिए।
If 5^(x − y) = 3125 and 3^(3x + y) = 2187, then the value of 19x − 18y is:
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

93

3125 = 5⁵ अतः x − y = 5। 2187 = 3⁷ अतः 3x + y = 7। जोड़ने पर 4x = 12, x = 3, y = −2। तब 19x − 18y = 57 + 36 = 93। अतः उत्तर 93 है।
3125 = 5⁵ so x − y = 5. 2187 = 3⁷ so 3x + y = 7. Adding: 4x = 12, x = 3, y = −2. Then 19x − 18y = 57 + 36 = 93. So the answer is 93.
339.
दिए गए व्यंजक को सरलीकृत कीजिए। x(3x − 5) + 5(x² − 3) + 16
Simplify the given expression. x(3x − 5) + 5(x2 − 3) + 16
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

8x² − 5x + 1
8x2 − 5x + 1

सही उत्तर: 8x² − 5x + 1 (आधिकारिक उत्तर कुंजी)।
Correct answer: 8x2 − 5x + 1 (official answer key).
340.
निम्न को सरल कीजिए। x(5x − 5) + 7(x² − 2) + 15
Simplify the following. x(5x − 5) + 7(x2 − 2) + 15
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

12x2 − 5x + 1

x(5x − 5) + 7(x² − 2) + 15 = 5x² − 5x + 7x² − 14 + 15 = 12x² − 5x + 1. अतः उत्तर 12x² − 5x + 1 है।
x(5x − 5) + 7(x² − 2) + 15 = 5x² − 5x + 7x² − 14 + 15 = 12x² − 5x + 1. So the answer is 12x² − 5x + 1.
341.
निम्नलिखित को सरल कीजिए: (2x +3)² − (x + 1)²
Simplify: (2x +3)2 − (x + 1)2
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

3x² + 10x + 8
3x2 + 10x + 8

(2x + 3)² = 4x² + 12x + 9 और (x + 1)² = x² + 2x + 1। अंतर = 3x² + 10x + 8। अतः उत्तर 3x² + 10x + 8 है।
(2x + 3)² = 4x² + 12x + 9 and (x + 1)² = x² + 2x + 1. Difference = 3x² + 10x + 8. So the answer is 3x² + 10x + 8.
342.
2x² − 5x − 3 का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए और x भी ज्ञात कीजिए।
Find the minimum value of 2x² − 5x − 3 and also find x.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

−6.125 और x = 1.25
−6.125 and x = 1.25

न्यूनतम मान x = −b ÷ 2a = 5 ÷ 4 = 1.25 पर। मान = 2(1.25)² − 5(1.25) − 3 = 3.125 − 6.25 − 3 = −6.125। अतः −6.125 और x = 1.25।
Minimum occurs at x = −b ÷ 2a = 5 ÷ 4 = 1.25. Value = 2(1.25)² − 5(1.25) − 3 = 3.125 − 6.25 − 3 = −6.125. So −6.125 and x = 1.25.
343.
3 चरों वाले, निम्नलिखित 3 समीकरणों के निकाय को हल कीजिए। 2x + y − 3z = −4 4x − 2y + z = 9 3x + 5y − 2z = 5
Solve the following system of 3 equations in 3 variables. 2x + y − 3z = −4 4x − 2y + z = 9 3x + 5y − 2z = 5
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

x = 2, y = 1, z = 3

x = 2, y = 1, z = 3 जाँचने पर: 2(2) + 1 − 9 = −4; 4(2) − 2 + 3 = 9; 3(2) + 5 − 6 = 5। तीनों समीकरण संतुष्ट होते हैं। अतः x = 2, y = 1, z = 3।
Check x = 2, y = 1, z = 3: 2(2) + 1 − 9 = −4; 4(2) − 2 + 3 = 9; 3(2) + 5 − 6 = 5. All three equations hold. So x = 2, y = 1, z = 3.
344.
यदि x = ∛(31 + 14√3) और y = ∛(31 - 14√3) है, तो x³ + y³ + 3x³y³ का मान ज्ञात कीजिए।
If x = ∛(31 + 14√3) and y = ∛(31 - 14√3), find the value of x³ + y³ + 3x³y³.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

1181

x³ + y³ = (31 + 14√3) + (31 − 14√3) = 62। x³y³ = 31² − (14√3)² = 961 − 588 = 373। अतः मान = 62 + 3 × 373 = 62 + 1119 = 1181। अतः उत्तर: 1181।
x³ + y³ = (31 + 14√3) + (31 − 14√3) = 62. x³y³ = 31² − (14√3)² = 961 − 588 = 373. So the value = 62 + 3 × 373 = 62 + 1119 = 1181. So the answer is 1181.
345.
सरल कीजिए: x(8x − 7) + 7(x² − 5) + 14
Simplify: x(8x − 7) + 7(x2 − 5) + 14
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

15x² − 7x − 21
15x2 − 7x − 21

x(8x − 7) + 7(x² − 5) + 14 = 8x² − 7x + 7x² − 35 + 14 = 15x² − 7x − 21। अतः उत्तर 15x2 − 7x − 21 है।
x(8x − 7) + 7(x² − 5) + 14 = 8x² − 7x + 7x² − 35 + 14 = 15x² − 7x − 21. So the answer is 15x2 − 7x − 21.
346.
66 - 4 x (30 + 3) + 40 का सरलीकृत मान ज्ञात कीजिए।
Find the simplified value of 66 - 4 x (30 + 3) + 40.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ड)

-26

पहले कोष्ठक: 30 + 3 = 33; 4 × 33 = 132। 66 − 132 + 40 = −26। अतः उत्तर −26 है।
Bracket first: 30 + 3 = 33; 4 × 33 = 132. 66 − 132 + 40 = −26. So the answer is −26.
347.
नीचे दिए गए विकल्पों में से कौन-सा विकल्प 216x³ + 343y³ + 756x²y + 882xy² के समतुल्य है?
Which of the options given below is equivalent to 216x3 + 343y3 + 756x2y + 882xy2?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ड)

(6x + 7y)³
(6x + 7y)3

(6x + 7y)³ = 216x³ + 3(6x)²(7y) + 3(6x)(7y)² + 343y³ = 216x³ + 756x²y + 882xy² + 343y³। अतः उत्तर (6x + 7y)³ है।
(6x + 7y)³ = 216x³ + 3(6x)²(7y) + 3(6x)(7y)² + 343y³ = 216x³ + 756x²y + 882xy² + 343y³. So the answer is (6x + 7y)³.
348.
यदि x² + y² − 12x + 18y + 117 = 0, तो x² + y² का मान ज्ञात कीजिए।
If x2 + y2 − 12x + 18y + 117 = 0, then find the value of x2 + y2.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

117

x² − 12x + 36 + y² + 18y + 81 = 36 + 81 − 117 = 0, अतः (x − 6)² + (y + 9)² = 0। इसलिए x = 6, y = −9। x² + y² = 36 + 81 = 117।
x² − 12x + 36 + y² + 18y + 81 = 36 + 81 − 117 = 0, so (x − 6)² + (y + 9)² = 0. Hence x = 6, y = −9. x² + y² = 36 + 81 = 117.
349.
यदि 5x + 2 = 62 है, तो x का मान ज्ञात कीजिए।
If 5x + 2 = 62, then find the value of x.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ड)

12

5x + 2 = 62, अतः 5x = 60 और x = 60 ÷ 5 = 12। अतः उत्तर 12 है।
5x + 2 = 62, so 5x = 60 and x = 60 ÷ 5 = 12. So the answer is 12.
350.
यदि 96 : y :: y : 6 है, तो y का धनात्मक मान ज्ञात कीजिए।
If 96 : y :: y : 6, find the positive value of y.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

24

सही उत्तर: 24 (आधिकारिक उत्तर कुंजी)।
Correct answer: 24 (official answer key).
351.
यदि द्विघात समीकरण x² − 8x + P = 0 और x² + 4x + Q = 0 का सार्व मूल 3 है, तो P + Q का मान ज्ञात कीजिए।
If 3 is a common root of the quadratic equations x2 − 8x + P = 0 and x2 + 4x + Q = 0, find the value of P + Q.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

−6

x = 3 रखने पर पहले समीकरण से 9 − 24 + P = 0, अतः P = 15। दूसरे से 9 + 12 + Q = 0, अतः Q = −21। P + Q = 15 − 21 = −6।
Put x = 3. First equation: 9 − 24 + P = 0, so P = 15. Second: 9 + 12 + Q = 0, so Q = −21. P + Q = 15 − 21 = −6.
352.
दिया गया है कि x + y = 4, तथा xy = 2 है, तो x² + y² ज्ञात कीजिए।
Given x + y = 4, and xy = 2, what is x² + y²?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

12

x² + y² = (x + y)² − 2xy = 4² − 2 × 2 = 16 − 4 = 12। अतः उत्तर 12 है।
x² + y² = (x + y)² − 2xy = 4² − 2 × 2 = 16 − 4 = 12. So the answer is 12.
353.
10x² और 30xy का तृतीयानुपाती ज्ञात कीजिए।
Find the third proportional to 10x2 and 30xy.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

90y²
90y2

सही उत्तर: 90y² (आधिकारिक उत्तर कुंजी)।
Correct answer: 90y2 (official answer key).
354.
मान लीजिए कि a एक विषम धनात्मक पूर्णांक है। यदि द्विघात समीकरण x² − (a − 1)x + 4a + 7 = 0 के मूल पूर्णांक हैं, तो a का न्यूनतम मान कितना होगा?
Let a be an odd positive integer. If the roots of the quadratic equation x2 − (a − 1)x + 4a + 7 = 0 are integers, what will be the minimum value of a?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

21

पूर्णांक मूल p और q मानें: p + q = a − 1 और pq = 4a + 7। तब pq = 4(p + q + 1) + 7, अतः (p − 4)(q − 4) = 27। युग्म (7, 13) से a = 21 और (5, 31) से a = 37; ऋणात्मक मूलों से a ऋणात्मक आता है। a का न्यूनतम मान 21 है।
Let the integer roots be p and q: p + q = a − 1 and pq = 4a + 7. Then pq = 4(p + q + 1) + 7, so (p − 4)(q − 4) = 27. Pairs (7, 13) give a = 21 and (5, 31) give a = 37; negative-root pairs give a negative a. The minimum value of a is 21.
355.
x = 2 होने पर, x² + 3x + 5 का मान ज्ञात कीजिए।
Find the value of x² + 3x + 5 when x + 2.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ड)

15

x = 2 लेने पर: x² + 3x + 5 = 4 + 6 + 5 = 15। अतः उत्तर 15 है।
Taking x = 2: x² + 3x + 5 = 4 + 6 + 5 = 15. So the answer is 15.
356.
यदि p = 6, q = −3 है, तो p³ – 3p² + 3p + 3q + 3q² + q³ का मान ज्ञात कीजिए।
If p = 6, q = −3, then find the value of p³ – 3p² + 3p + 3q + 3q² + q³.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ड)

117

p³ − 3p² + 3p = (p − 1)³ + 1 और q³ + 3q² + 3q = (q + 1)³ − 1। योग = (p − 1)³ + (q + 1)³ = 5³ + (−2)³ = 125 − 8 = 117।
p³ − 3p² + 3p = (p − 1)³ + 1 and q³ + 3q² + 3q = (q + 1)³ − 1. Sum = (p − 1)³ + (q + 1)³ = 5³ + (−2)³ = 125 − 8 = 117.
357.
दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 247 है। यदि इन दो पूर्णांकों में से छोटे पूर्णांक को x द्वारा निरूपित किया जाता है, तो निम्नलिखित में से कौन-सा, x का मान ज्ञात करने के लिए समीकरण के संगत होगा?
The product of two consecutive positive integers is 247. If the smaller of these two integers is denoted by x, which of the following corresponds to the equation for finding the value of x?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

x² + x − 247 = 0
x2 + x − 247 = 0

पूर्णांक x और x + 1 हैं, अतः x(x + 1) = 247, अर्थात् x² + x = 247। अतः समीकरण x² + x − 247 = 0 है।
The integers are x and x + 1, so x(x + 1) = 247, i.e. x² + x = 247. So the equation is x² + x − 247 = 0.
358.
16x² और 20xy का तृतीयानुपाती ज्ञात कीजिए।
What is the third proportional to 16x² and 20xy?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

25y2

a और b का तृतीयानुपाती = b²/a = (20xy)² ÷ 16x² = 400x²y² ÷ 16x² = 25y²। अतः उत्तर 25y² है।
Third proportional of a and b = b²/a = (20xy)² ÷ 16x² = 400x²y² ÷ 16x² = 25y². So the answer is 25y².
359.
x(2x - 3) + 2(x² - 4) + 16 को सरल कीजिए।
Simplify x(2x - 3) + 2(x2 - 4) + 16.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

4x² - 3x + 8
4x2 - 3x + 8

x(2x − 3) + 2(x² − 4) + 16 = 2x² − 3x + 2x² − 8 + 16 = 4x² − 3x + 8। अतः उत्तर 4x2 - 3x + 8 है।
x(2x − 3) + 2(x² − 4) + 16 = 2x² − 3x + 2x² − 8 + 16 = 4x² − 3x + 8. So the answer is 4x2 - 3x + 8.
360.
यदि p = 6, q = −3 है, तो p³ – 3p² + 3p + 3q + 3q² + q³ का मान है:
If p = 6, q = −3, then the value of p³ – 3p² + 3p + 3q + 3q² + q³ is:
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

117

p³ − 3p² + 3p = (p − 1)³ + 1 और q³ + 3q² + 3q = (q + 1)³ − 1। योग = (p − 1)³ + (q + 1)³ = 5³ + (−2)³ = 125 − 8 = 117।
p³ − 3p² + 3p = (p − 1)³ + 1 and q³ + 3q² + 3q = (q + 1)³ − 1. Sum = (p − 1)³ + (q + 1)³ = 5³ + (−2)³ = 125 − 8 = 117.
361.
यदि x² + y² − 10x + 26y + 194 = 0, तो x² + y² का मान ज्ञात कीजिए।
If x2 + y2 − 10x + 26y + 194 = 0, then find the value of x2 + y2.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

194

x² − 10x + 25 + y² + 26y + 169 = 25 + 169 − 194 = 0, अतः (x − 5)² + (y + 13)² = 0। इसलिए x = 5, y = −13। x² + y² = 25 + 169 = 194।
x² − 10x + 25 + y² + 26y + 169 = 25 + 169 − 194 = 0, so (x − 5)² + (y + 13)² = 0. Hence x = 5, y = −13. x² + y² = 25 + 169 = 194.
362.
(2x − 5y)² + (5x + 2y)² + (2x + 5y)(2x − 5y) को सरल कीजिए।
Simplify (2x − 5y)2 + (5x + 2y)2 + (2x + 5y)(2x − 5y).
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ड)

33x² + 4y²
33x2 + 4y2

(2x − 5y)² = 4x² − 20xy + 25y²; (5x + 2y)² = 25x² + 20xy + 4y²; (2x + 5y)(2x − 5y) = 4x² − 25y²। योग = 33x² + 4y²। अतः उत्तर 33x² + 4y² है।
(2x − 5y)² = 4x² − 20xy + 25y²; (5x + 2y)² = 25x² + 20xy + 4y²; (2x + 5y)(2x − 5y) = 4x² − 25y². Sum = 33x² + 4y². So the answer is 33x² + 4y².
363.
यदि x = 7 + √1, y = 7 − √1 है, तो x² + y² का मान ज्ञात कीजिए।
If x = 7 + √1, y = 7 − √1, find the value of x² + y².
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ड)

100

√1 = 1, अतः x = 8 और y = 6। x² + y² = 64 + 36 = 100। अतः उत्तर 100 है।
√1 = 1, so x = 8 and y = 6. x² + y² = 64 + 36 = 100. So the answer is 100.
364.
द्विघात समीकरण 2x² + 4x + 8 = 0 के ____________ हैं।
The quadratic equation 2x2 + 4x + 8 = 0 has ____________.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

कोई वास्तविक मूल नहीं
no real roots

विविक्तकर = b² − 4ac = 4² − 4 × 2 × 8 = 16 − 64 = −48, जो ऋणात्मक है। अतः समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।
Discriminant = b² − 4ac = 4² − 4 × 2 × 8 = 16 − 64 = −48, which is negative. So the equation has no real roots.
365.
द्विघात समीकरण 3x² + 2x + 5 = 0 के मूलों की प्रकृति निर्धारित कीजिए।
Determine the nature of the roots of the quadratic equation 3x2 + 2x + 5 = 0.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ड)

सम्मि श्र मूल (काल्पनिक मूल)
Complex roots (imaginary roots)

विविक्तकर D = b² − 4ac = 2² − 4 × 3 × 5 = 4 − 60 = −56, जो ऋणात्मक है। अतः मूल सम्मिश्र (काल्पनिक) हैं।
Discriminant D = b² − 4ac = 2² − 4 × 3 × 5 = 4 − 60 = −56, which is negative. So the roots are complex (imaginary).
366.
x(9x − 8) + 7(x² − 3) + 18 को सरल करें।
Simplify x(9x − 8) + 7(x2 − 3) + 18.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

16x² − 8x − 3
16x2 − 8x − 3

x(9x − 8) + 7(x² − 3) + 18 = 9x² − 8x + 7x² − 21 + 18 = 16x² − 8x − 3।
x(9x − 8) + 7(x² − 3) + 18 = 9x² − 8x + 7x² − 21 + 18 = 16x² − 8x − 3.
367.
54x² और 18xy का तृतीयानुपाती कितना है?
What is the third proportional to 54x² and 18xy?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

6y2

a और b का तृतीयानुपाती = b² ÷ a = (18xy)² ÷ 54x² = 324x²y² ÷ 54x² = 6y²। अतः उत्तर 6y² है।
Third proportional of a and b = b² ÷ a = (18xy)² ÷ 54x² = 324x²y² ÷ 54x² = 6y². So the answer is 6y².
368.
दिए गए व्यंजक का गुणनखंड कीजिए। 100a² + 300ab + 225b²
Factorise the given expression. 100a2 + 300ab + 225b2
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

(10a + 15b)²
(10a + 15b)2

100a² + 300ab + 225b² = (10a)² + 2 × 10a × 15b + (15b)² = (10a + 15b)²। अतः उत्तर (10a + 15b)² है।
100a² + 300ab + 225b² = (10a)² + 2 × 10a × 15b + (15b)² = (10a + 15b)². So the answer is (10a + 15b)².
369.
यदि 81 : y :: y : 196 है, तो y का धनात्मक मान ज्ञात कीजिए।
If 81 : y :: y : 196, find the positive value of y.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

126

सही उत्तर: 126 (आधिकारिक उत्तर कुंजी)।
Correct answer: 126 (official answer key).
370.
x(7x − 2) + 5(x² − 3) + 13 को सरल करें।
Simplify x(7x − 2) + 5(x2 − 3) + 13.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

12x² − 2x − 2
12x2 − 2x − 2

x(7x − 2) = 7x² − 2x तथा 5(x² − 3) = 5x² − 15। योग + 13 = 12x² − 2x − 15 + 13। अतः उत्तर 12x2 − 2x − 2 है।
x(7x − 2) = 7x² − 2x and 5(x² − 3) = 5x² − 15. Sum + 13 = 12x² − 2x − 15 + 13. So the answer is 12x2 − 2x − 2.
371.
एक समबाहु त्रिभुज ABC में, बिंदु D भुजा BC पर इस प्रकार स्थि त है कि 3BD = BC है। निम्नलिखित में से कौन-सा संबंध सही है?
In an equilateral triangle ABC, point D lies on side BC such that, 3BD = BC. Which of the following relations is correct?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

9AD2=7AB2

भुजा = a मानें, तो BD = a/3। शीर्षलंब AM डालें; BM = a/2, AM² = 3a²/4 और DM = a/2 − a/3 = a/6। AD² = 3a²/4 + a²/36 = 28a²/36 = 7a²/9। अतः 9AD² = 7AB²।
Let side = a, so BD = a/3. Drop the altitude AM; BM = a/2, AM² = 3a²/4 and DM = a/2 − a/3 = a/6. AD² = 3a²/4 + a²/36 = 28a²/36 = 7a²/9. So 9AD² = 7AB².
372.
3³ × 9² × 13, 3² × 13² × 18 और 9³ × 13² × 18² का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात कीजिए।
Find the least common multiple (LCM) of 33 × 92 × 13, 32 × 132 × 18 and 93 × 132 × 182.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

2² x 3¹⁰ x 13²
22 x 310 x 132

सही उत्तर: 2² x 3¹⁰ x 13² (आधिकारिक उत्तर कुंजी)।
Correct answer: 22 x 310 x 132 (official answer key).
373.
दो द्विघात समीकरण, x² - 5x + 6 = 0 और 2x² - kx + 6 = 0, का एक मूल सार्व है। k का संभावित मान क्या है?
The two quadratic equations x2 - 5x + 6 = 0 and 2x2 - kx + 6 = 0 have a common root. What is a possible value of k?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

7

x² − 5x + 6 = 0 के मूल 2 और 3 हैं। 2x² − kx + 6 = 0 में x = 2 रखने पर 8 − 2k + 6 = 0, अतः k = 7। (x = 3 से k = 8 आता है, जो विकल्प में नहीं है।) अतः उत्तर 7 है।
x² − 5x + 6 = 0 has roots 2 and 3. Putting x = 2 in 2x² − kx + 6 = 0: 8 − 2k + 6 = 0, so k = 7. (x = 3 would give k = 8, which is not an option.) So the answer is 7.
374.
यदि x = asinθ और y = acosθ है, तो x, y और a के बीच संबंध ज्ञात कीजिए।
If x = asinθ and y = acosθ, find the relationship between x, y and a.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

x2 + y2 = a2

सही उत्तर: x2 + y2 = a2 (आधिकारिक उत्तर कुंजी)।
Correct answer: x2 + y2 = a2 (official answer key).
375.
(2x + 3)(x − 5) − (x − 2)(3x + 4) को सरल कीजिए।
Simplify (2x + 3)(x − 5) − (x − 2)(3x + 4).
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ड)

−x2 −5x −7

(2x + 3)(x − 5) = 2x² − 7x − 15 और (x − 2)(3x + 4) = 3x² − 2x − 8। अंतर = 2x² − 7x − 15 − 3x² + 2x + 8 = −x² − 5x − 7।
(2x + 3)(x − 5) = 2x² − 7x − 15 and (x − 2)(3x + 4) = 3x² − 2x − 8. Difference = 2x² − 7x − 15 − 3x² + 2x + 8 = −x² − 5x − 7.
376.
x के किस मान के लिए समीकरण (x + 5)² − (x − 5)² = 80 सत्य होगा?
For what value of x will the equation (x + 5)² − (x − 5)² = 80 be true?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ड)

4

(x + 5)² − (x − 5)² = 4 × x × 5 = 20x। अतः 20x = 80 और x = 4। अतः उत्तर 4 है।
(x + 5)² − (x − 5)² = 4 × x × 5 = 20x. So 20x = 80 and x = 4. So the answer is 4.
377.
(5x − 2y)² + (2x + 5y)² + (5x + 2y)(5x − 2y) को सरल कीजिए।
Simplify (5x − 2y)2 + (2x + 5y)2 + (5x + 2y)(5x − 2y).
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

54x² + 25y²
54x2 + 25y2

(5x − 2y)² = 25x² − 20xy + 4y²; (2x + 5y)² = 4x² + 20xy + 25y²; (5x + 2y)(5x − 2y) = 25x² − 4y²। योग = 54x² + 25y²। अतः उत्तर 54x² + 25y² है।
(5x − 2y)² = 25x² − 20xy + 4y²; (2x + 5y)² = 4x² + 20xy + 25y²; (5x + 2y)(5x − 2y) = 25x² − 4y². Sum = 54x² + 25y². So the answer is 54x² + 25y².
378.
6x² और 18xy का तृतीयानुपाती ज्ञात कीजिए।
Find the third proportional to 6x2 and 18xy.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

54y²
54y2

a और b का तृतीयानुपाती b² ÷ a = (18xy)² ÷ 6x² = 324x²y² ÷ 6x² = 54y²। अतः उत्तर 54y² है।
Third proportional to a and b is b² ÷ a = (18xy)² ÷ 6x² = 324x²y² ÷ 6x² = 54y². So the answer is 54y².
379.
[(9x + 4y)² − (9x − 4y)²] ÷ 24x को सरल कीजिए।
Simplify: [(9x + 4y)² − (9x − 4y)²] ÷ 24x
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

6y

(a + b)² − (a − b)² = 4ab = 4 × 9x × 4y = 144xy। 24x से भाग देने पर 6y मिलता है। इसलिए उत्तर 6y है।
(a + b)² − (a − b)² = 4ab = 4 × 9x × 4y = 144xy. Dividing by 24x gives 6y. So the answer is 6y.
380.
समीकरण x² − 5x + 6 = 0 और x² +ax + b = 0 का ठीक एक उभयनिष्ठ मूल है, और दूसरे समीकरण का दूसरा मूल –4 है। निम्नलिखित में से a और b के संभावित मान कौन-से हैं?
The equations x² − 5x + 6 = 0 and x² +ax + b = 0, have exactly one common root, and the other root of the second equation is –4. Among the following, which are the possible values of a and b?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ड)

a=2, b=−8

x² − 5x + 6 = 0 के मूल 2 और 3 हैं। यदि उभयनिष्ठ मूल 2 हो, तो दूसरे समीकरण के मूल 2 और −4: a = −(2 − 4) = 2, b = 2 × (−4) = −8। अतः a = 2, b = −8।
x² − 5x + 6 = 0 has roots 2 and 3. If the common root is 2, the second equation has roots 2 and −4: a = −(2 − 4) = 2, b = 2 × (−4) = −8. So a = 2, b = −8.
381.
यदि 14.8 : x :: x : 3.7 तथा x > 0 है, तो x का मान ज्ञात कीजिए।
If 14.8 : x :: x : 3.7 and x > 0, then find the value of x.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

7.4

x मध्यानुपाती है: x² = 14.8 × 3.7 = 54.76। अतः x = √54.76 = 7.4। अतः उत्तर 7.4 है।
x is the mean proportional: x² = 14.8 × 3.7 = 54.76. So x = √54.76 = 7.4. So the answer is 7.4.
382.
यदि a + b + c = 13 और ab + bc + ca = 4 है, तो ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) + 3abc का मान कितना होगा?
If a + b + c = 13 and ab + bc + ca = 4, then what is the value of ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) + 3abc?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ड)

52

सर्वसमिका: ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) + 3abc = (a + b + c)(ab + bc + ca)। अतः मान = 13 × 4 = 52।
Identity: ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) + 3abc = (a + b + c)(ab + bc + ca). So the value = 13 × 4 = 52.
383.
द्विघात समीकरण x² + 3x + k = 0 का विविक्तकर 9 के बराबर है। k का मान क्या है?
The discriminant of the quadratic equation x2 + 3x + k = 0 is equal to 9. What is the value of k?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

0

विविक्तकर = b² − 4ac = 3² − 4(1)(k) = 9 − 4k। 9 − 4k = 9 रखने पर k = 0।
Discriminant = b² − 4ac = 3² − 4(1)(k) = 9 − 4k. Setting 9 − 4k = 9 gives k = 0.
384.
8 ^(यदि x) ^(+ y) ^(= 16 और x + y = 4, तो xy का मान क्या है?)
8 ^(If x) ^(+ y) ^(= 16 and x + y = 4, what is the value of xy?)
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ड)

4

सही उत्तर: 4 (आधिकारिक उत्तर कुंजी)।
Correct answer: 4 (official answer key).
385.
(2pq + 11q)² - (2pq - 11q)² को सरल कीजिए।
Simplify (2pq + 11q)² - (2pq - 11q)².
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

88pq2

(a + b)² − (a − b)² = 4ab, जहाँ a = 2pq, b = 11q: 4 × 2pq × 11q = 88pq²। अतः उत्तर 88pq² है।
Use (a + b)² − (a − b)² = 4ab with a = 2pq, b = 11q: 4 × 2pq × 11q = 88pq². So the answer is 88pq².
386.
y, (x+3) के अनुक्रमानुपाती है। x = 1 होने पर y = 8 होता है। x = 2 होने पर y का मान ज्ञात कीजिए।
y is directly proportional to (x+3). When x = 1, y = 8. Find the value of y when x = 2.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

10

y = k(x + 3)। x = 1 पर 8 = 4k, अतः k = 2। x = 2 पर y = 2 × 5 = 10। उत्तर 10 है।
y = k(x + 3). At x = 1: 8 = 4k, so k = 2. At x = 2: y = 2 × 5 = 10. So the answer is 10.
387.
यदि आंकड़ों का माध्य 30 है, तो निम्नलिखित में से कौन-सा विकल्प दिए गए आंकड़ों के लिए x और y के बीच संबंध दर्शाता है? वर्ग अंतराल बारंबारता 0-10 2 10-20 4 20-30 x 30-40 y 40-50 3
If the mean of the data is 30, which of the following options shows the relation between x and y for the given data? Class interval Frequency 0-10 2 10-20 4 20-30 x 30-40 y 40-50 3
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

y = x + 13

वर्ग-चिह्न 5, 15, 25, 35, 45 हैं। Σf = 9 + x + y और Σfx = 205 + 25x + 35y। माध्य 30 होने पर 205 + 25x + 35y = 270 + 30x + 30y, अतः 5y − 5x = 65 और y = x + 13।
Class marks are 5, 15, 25, 35, 45. Σf = 9 + x + y and Σfx = 205 + 25x + 35y. Mean 30 gives 205 + 25x + 35y = 270 + 30x + 30y, so 5y − 5x = 65 and y = x + 13.
388.
समीकरणों x² − 21x + 110 = 0 और 110 + x − x² = 0 का उभयनिष्ठ मूल (common root) ज्ञात कीजिए।
Find the common root of the equations x2 − 21x + 110 = 0 and 110 + x − x2 = 0.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

11

x² − 21x + 110 = (x − 10)(x − 11) = 0 से x = 10, 11। 110 + x − x² = 0 अर्थात x² − x − 110 = (x − 11)(x + 10) = 0 से x = 11, −10। उभयनिष्ठ मूल 11 है।
x² − 21x + 110 = (x − 10)(x − 11) = 0 gives x = 10, 11. 110 + x − x² = 0 means x² − x − 110 = (x − 11)(x + 10) = 0 gives x = 11, −10. The common root is 11.
389.
3 अज्ञातों वाले निम्नलिखित 3 समीकरणों के निकाय हल कीजिए। x − 3z = −5 2x − y + 2z = 16 7x − 3y − 5z = 19
Solve the following system of 3 equations in 3 unknowns. x − 3z = −5 2x − y + 2z = 16 7x − 3y − 5z = 19
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

x = 4, y = −2, z = 3

x = 4, y = −2, z = 3 रखने पर: x − 3z = 4 − 9 = −5; 2x − y + 2z = 8 + 2 + 6 = 16; 7x − 3y − 5z = 28 + 6 − 15 = 19। अतः हल x = 4, y = −2, z = 3 है।
Test x = 4, y = −2, z = 3: x − 3z = 4 − 9 = −5; 2x − y + 2z = 8 + 2 + 6 = 16; 7x − 3y − 5z = 28 + 6 − 15 = 19. So the solution is x = 4, y = −2, z = 3.
390.
यदि 162 : y :: y : 128 है, तो y का धनात्मक मान ज्ञात कीजिए।
If 162 : y :: y : 128, find the positive value of y.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

144

सही उत्तर: 144 (आधिकारिक उत्तर कुंजी)।
Correct answer: 144 (official answer key).
391.
द्विघात समीकरण 2x² + x + 3 = 0 के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए।
Find the nature of the roots of the quadratic equation 2x2 + x + 3 = 0.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ड)

अधिकल्पि त मूल
Imaginary roots

विविक्तकर D = b² − 4ac = 1 − 4 × 2 × 3 = −23 < 0, अतः मूल काल्पनिक (अवास्तविक) हैं।
Discriminant D = b² − 4ac = 1 − 4 × 2 × 3 = −23 < 0, so the roots are imaginary (not real).
392.
यदि 46.4 : x :: x : 2.9, और x > 0 है, तो x का मान ज्ञात कीजिए।
If 46.4 : x :: x : 2.9, and x > 0, then find the value of x.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ड)

11.6

x मध्यानुपाती है: x² = 46.4 × 2.9 = 134.56। x = √134.56 = 11.6। अतः उत्तर 11.6 है।
x is the mean proportional: x² = 46.4 × 2.9 = 134.56. x = √134.56 = 11.6. So the answer is 11.6.
393.
निम्नलिखित व्यंजक को सरल कीजिए: (x + 3)² − x² − 9 − 6x
Simplify the expression: (x + 3)² − x² − 9 − 6x
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

0

(x + 3)² = x² + 6x + 9। अतः x² + 6x + 9 − x² − 9 − 6x = 0। उत्तर 0 है।
(x + 3)² = x² + 6x + 9. So x² + 6x + 9 − x² − 9 − 6x = 0. The answer is 0.
394.
X, A² के अनुक्रमानुपाती है और A, Y के व्युत्क्रमानुपाती है। यदि Y का मान 6 होने पर X का मान 97 होता है, तो Y का मान 2 होने पर X का मान ज्ञात कीजिए।
X is directly proportional to A2 and A is inversely proportional to Y. If the value of X is 97 when the value of Y is 6, find the value of X when the value of Y is 2.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

873

X ∝ A² और A ∝ 1/Y, अतः X ∝ 1/Y², अर्थात X × Y² अचर है। 97 × 6² = 97 × 36 = 3492। Y = 2 पर X = 3492 ÷ 4 = 873। अतः उत्तर 873 है।
X ∝ A² and A ∝ 1/Y, so X ∝ 1/Y², i.e. X × Y² is constant. 97 × 6² = 97 × 36 = 3492. For Y = 2: X = 3492 ÷ 4 = 873. So the answer is 873.
395.
द्विघात व्यंजक 10(x −1) − 5x² + 4(2 − x) + 8 का अधिकतम मान क्या होगा?
What will be the maximum value of the quadratic expression 10(x −1) − 5x2 + 4(2 − x) + 8?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

7.8

प्रसार करने पर: 10x − 10 − 5x² + 8 − 4x + 8 = −5x² + 6x + 6। अधिकतम मान x = −b/2a = 0.6 पर: −5(0.36) + 3.6 + 6 = −1.8 + 9.6 = 7.8। इसलिए उत्तर 7.8 है।
Expand: 10x − 10 − 5x² + 8 − 4x + 8 = −5x² + 6x + 6. Maximum at x = −b/2a = 0.6: −5(0.36) + 3.6 + 6 = −1.8 + 9.6 = 7.8. So the answer is 7.8.
396.
(x + 3)² निम्‍नलिखित में से किसके बराबर है?
(x + 3)² is equal to:
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ड)

x² + 6x + 9

(x + 3)² = x² + 2 × x × 3 + 3² = x² + 6x + 9। इसलिए उत्तर x² + 6x + 9 है।
(x + 3)² = x² + 2 × x × 3 + 3² = x² + 6x + 9. So the answer is x² + 6x + 9.
397.
यदि 50 : x :: x : 32, और x > 0 है, तो x का मान ज्ञात कीजिए।
If 50 : x :: x : 32, and x > 0, then find the value of x.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

40

50 : x :: x : 32 का अर्थ है x मध्यानुपाती है: x² = 50 × 32 = 1600। अतः x = 40।
50 : x :: x : 32 means x is the mean proportional: x² = 50 × 32 = 1600. So x = 40.
398.
निम्नलिखित में से कौन-सा, द्विघात समीकरण नहीं है?
Which of the following is NOT a quadratic equation?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

(x – 1)(x + 2) = x² + 3

(x − 1)(x + 2) = x² + x − 2। इसे x² + 3 के बराबर रखने पर x − 5 = 0 मिलता है, जो रैखिक है। अतः (x – 1)(x + 2) = x² + 3 द्विघात समीकरण नहीं है।
(x − 1)(x + 2) = x² + x − 2. Setting equal to x² + 3 gives x − 5 = 0, which is linear. So (x – 1)(x + 2) = x² + 3 is not a quadratic equation.
399.
75x² और 30xy का तृतीयानुपाती कितना है?
What is the third proportional of 75x² and 30xy?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

12y2

a और b का तृतीयानुपाती = b²/a = (30xy)² ÷ 75x² = 900x²y² ÷ 75x² = 12y²। अतः उत्तर 12y² है।
Third proportional of a and b = b²/a = (30xy)² ÷ 75x² = 900x²y² ÷ 75x² = 12y². So the answer is 12y².
400.
यदि 36 : y :: y : 9 है, तो y का धनात्मक मान ज्ञात कीजिए।
If 36 : y :: y : 9, find the positive value of y.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

18

सही उत्तर: 18 (आधिकारिक उत्तर कुंजी)।
Correct answer: 18 (official answer key).
401.
यदि x − y = 3 और xy = 18 है, तो x² − y² कितना होगा?
If x − y = 3 and xy = 18, what is x² − y²?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

27

(x + y)² = (x − y)² + 4xy = 9 + 72 = 81, अतः x + y = 9. x² − y² = (x + y)(x − y) = 9 × 3 = 27.
(x + y)² = (x − y)² + 4xy = 9 + 72 = 81, so x + y = 9. x² − y² = (x + y)(x − y) = 9 × 3 = 27.
402.
(x + 9)(x − 6)(x + 5) के प्रसार में, x का गुणांक कितना है?
In the expansion of (x + 9)(x − 6)(x + 5), what is the coefficient of x?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

−39

(x + 9)(x − 6) = x² + 3x − 54। (x + 5) से गुणा: x का पद = 3x × 5 + (−54) × x = 15x − 54x = −39x। अतः गुणांक −39 है।
(x + 9)(x − 6) = x² + 3x − 54. Multiply by (x + 5): x-term = 3x × 5 + (−54) × x = 15x − 54x = −39x. So the coefficient is −39.
403.
'c' का मान ज्ञात कीजिए ताकि द्विघात समीकरण 2x² − 3x + c = 0 और x² - 9x − 22 = 0 का एक उभयनिष्ठ मूल 11 हो।
Find the value of 'c' such that the quadratic equations 2x2 − 3x + c = 0 and x2 - 9x − 22 = 0 have a common root 11.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

−209

11, 2x² − 3x + c = 0 का मूल है, अतः 2 × 121 − 33 + c = 0, अर्थात् 242 − 33 + c = 0 और c = −209। (जाँच: 11² − 99 − 22 = 0।) अतः उत्तर −209 है।
11 is a root of 2x² − 3x + c = 0, so 2 × 121 − 33 + c = 0, i.e. 242 − 33 + c = 0 and c = −209. (Check: 11² − 99 − 22 = 0.) So the answer is −209.
404.
2³ × 7² × 12, 2² × 12² × 18 और 7³ × 12² × 18² का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात कीजिए।
Find the LCM of 23 × 72 × 12, 22 × 122 × 18 and 73 × 122 × 182.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

2⁷ x 3⁶ x 7³
27 x 36 x 73

अभाज्य गुणनखंड: 2³ × 7² × 12 = 2⁵ × 3 × 7²; 2² × 12² × 18 = 2⁷ × 3⁴; 7³ × 12² × 18² = 2⁶ × 3⁶ × 7³। LCM में सबसे बड़ी घातें: 2⁷ × 3⁶ × 7³। अतः उत्तर 27 x 36 x 73 है।
Prime factors: 2³ × 7² × 12 = 2⁵ × 3 × 7²; 2² × 12² × 18 = 2⁷ × 3⁴; 7³ × 12² × 18² = 2⁶ × 3⁶ × 7³. LCM takes highest powers: 2⁷ × 3⁶ × 7³. So the answer is 27 x 36 x 73.
405.
यदि x, y के व्युत्क्रमानुपाती है, और x = 16 होने पर y = 7 है; तो y = 2 होने पर x का मान ज्ञात कीजिए।
If x is inversely proportional to y, and y = 7 when x = 16, find the value of x, when y = 2.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

56

व्युत्क्रमानुपात: x × y = अचर = 16 × 7 = 112. y = 2 होने पर x = 112 ÷ 2 = 56.
Inverse proportion: x × y = constant = 16 × 7 = 112. When y = 2, x = 112 ÷ 2 = 56.
406.
यदि x = 3 है, तो व्यंजक x² + 2x + 1 का मान ज्ञात कीजिए।
If x = 3, what is the value of the expression x² + 2x + 1?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ड)

16

x² + 2x + 1 = (x + 1)² = (3 + 1)² = 16। इसलिए उत्तर 16 है।
x² + 2x + 1 = (x + 1)² = (3 + 1)² = 16. So the answer is 16.
407.
(2x+3)² − (2x−3)² − 24x का मान ज्ञात कीजिए।
Find the value of (2x+3)² − (2x−3)² − 24x
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

0

(a + b)² − (a − b)² = 4ab। a = 2x, b = 3 रखने पर: 4 × 2x × 3 = 24x। अतः 24x − 24x = 0।
(a + b)² − (a − b)² = 4ab. With a = 2x, b = 3: 4 × 2x × 3 = 24x. So 24x − 24x = 0.
408.
x(3x - 7) + 7(x² -4) + 18 को सरल कीजिए।
Simplify x(3x - 7) + 7(x2 -4) + 18.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

10x² - 7x - 10
10x2 - 7x - 10

x(3x − 7) + 7(x² − 4) + 18 = 3x² − 7x + 7x² − 28 + 18 = 10x² − 7x − 10।
x(3x − 7) + 7(x² − 4) + 18 = 3x² − 7x + 7x² − 28 + 18 = 10x² − 7x − 10.
409.
(x + y)² और (x - y)² के बीच माध्यानुपाती ज्ञात कीजिए, (जहाँ x और y प्राकृतिक संख्याएँ हैं और x > y है)।
Find the mean proportional between (x + y)2 and (x - y)2 (where x and y are natural numbers and x > y).
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ड)

x² – y²
x2 – y2

सही उत्तर: x² – y² (आधिकारिक उत्तर कुंजी)।
Correct answer: x2 – y2 (official answer key).
410.
यदि तीन मानों 3x, 2x + 6 और 2x + 1 का माध्य 7 है, तो x का मान ज्ञात कीजिए।
If the mean of three values 3x, 2x+6 and 2x+1 is 7, then find x.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ड)

2

माध्य = (3x + 2x + 6 + 2x + 1) ÷ 3 = 7, अतः 7x + 7 = 21, 7x = 14 और x = 2।
Mean = (3x + 2x + 6 + 2x + 1) ÷ 3 = 7, so 7x + 7 = 21, 7x = 14 and x = 2.
411.
x(2x - 8) + 5(x² -3) + 12 को सरल कीजिए।
Simplify x(2x - 8) + 5(x2 -3) + 12.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ड)

7x² - 8x - 3
7x2 - 8x - 3

x(2x − 8) + 5(x² − 3) + 12 = 2x² − 8x + 5x² − 15 + 12 = 7x² − 8x − 3।
x(2x − 8) + 5(x² − 3) + 12 = 2x² − 8x + 5x² − 15 + 12 = 7x² − 8x − 3.
412.
(x + 5)(x − 5) को सरल कीजिए।
Simplify (x + 5)(x − 5).
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

x² − 25

(a + b)(a − b) = a² − b² से: (x + 5)(x − 5) = x² − 5² = x² − 25. अतः उत्तर x² − 25 है।
Using (a + b)(a − b) = a² − b²: (x + 5)(x − 5) = x² − 5² = x² − 25. So the answer is x² − 25.
413.
यदि x = 7 + √1, y = 7 − √1 है, तो x² + y² का मान ज्ञात कीजिए।
Find the value of x² + y², given that, x = 7 + √1, y = 7 − √1.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

100

√1 = 1, अतः x = 8 और y = 6। x² + y² = 64 + 36 = 100। अतः उत्तर 100 है।
√1 = 1, so x = 8 and y = 6. x² + y² = 64 + 36 = 100. So the answer is 100.
414.
(6pq + 14q)² - (6pq - 14q)² को सरल कीजिए।
Simplify (6pq + 14q)² - (6pq - 14q)².
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

336pq2

सही उत्तर: 336pq2 (आधिकारिक उत्तर कुंजी)।
Correct answer: 336pq2 (official answer key).
415.
sin (90 − x) cos (180 − (x − y)) + cos (90 − x) sin (180 − (y − x)) का मान ज्ञात कीजिए।
Find the value of sin (90 − x) cos (180 − (x − y)) + cos (90 − x) sin (180 − (y − x)).
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

−cos y

sin(90° − x) = cos x, cos(180° − (x − y)) = −cos(x − y), cos(90° − x) = sin x, sin(180° − (y − x)) = sin(y − x) = −sin(x − y)। योग = −[cos x cos(x − y) + sin x sin(x − y)] = −cos(x − (x − y)) = −cos y।
sin(90° − x) = cos x, cos(180° − (x − y)) = −cos(x − y), cos(90° − x) = sin x, sin(180° − (y − x)) = sin(y − x) = −sin(x − y). Sum = −[cos x cos(x − y) + sin x sin(x − y)] = −cos(x − (x − y)) = −cos y.
416.
यदि 11.6 : x :: x : 2.9, और x > 0 है, तो x का मान ज्ञात कीजिए।
If 11.6 : x :: x : 2.9, and x > 0, then find the value of x.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

5.8

x मध्यानुपाती है: x² = 11.6 × 2.9 = 33.64, अतः x = √33.64 = 5.8। अतः उत्तर 5.8 है।
x is the mean proportional: x² = 11.6 × 2.9 = 33.64, so x = √33.64 = 5.8. So the answer is 5.8.
417.
सरल कीजिए: x(6x − 9) + 6(x² − 3) + 19
Simplify: x(6x − 9) + 6(x2 − 3) + 19
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ड)

12x² − 9x + 1
12x2 − 9x + 1

x(6x − 9) + 6(x² − 3) + 19 = 6x² − 9x + 6x² − 18 + 19 = 12x² − 9x + 1।
x(6x − 9) + 6(x² − 3) + 19 = 6x² − 9x + 6x² − 18 + 19 = 12x² − 9x + 1.
418.
यदि (2x + 5), (3x + 7) और (4x + 9) सतत अनुपात में हैं, तो x का मान ज्ञात कीजिए।
If (2x + 5), (3x + 7) and (4x + 9) are in continued proportion, find the value of x.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ड)

x = -2, -2

सतत अनुपात में (3x + 7)² = (2x + 5)(4x + 9)। अतः 9x² + 42x + 49 = 8x² + 38x + 45, जिससे x² + 4x + 4 = 0, यानी (x + 2)² = 0। अतः x = −2, −2।
In continued proportion, (3x + 7)² = (2x + 5)(4x + 9). So 9x² + 42x + 49 = 8x² + 38x + 45, giving x² + 4x + 4 = 0, i.e. (x + 2)² = 0. So x = −2, −2.
419.
x² + 2x + x² को सरल कीजिए।
Simplify x² + 2x + x².
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

2x² + 2x

समान पद जोड़ें: x² + x² = 2x², और 2x वैसा ही रहता है। अतः 2x² + 2x।
Combine like terms: x² + x² = 2x², and 2x stays. So the expression is 2x² + 2x.
420.
(a + b)² − (a − b)² को सरल कीजिए।
Simplify: (a + b)² − (a − b)²
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

4ab

(a + b)² − (a − b)² = (a² + 2ab + b²) − (a² − 2ab + b²) = 4ab। इसलिए उत्तर 4ab है।
(a + b)² − (a − b)² = (a² + 2ab + b²) − (a² − 2ab + b²) = 4ab. So the answer is 4ab.
421.
2x² और 12xy का तृतीयानुपाती ज्ञात कीजिए।
Find the third proportional to 2x2 and 12xy.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

72y²
72y2

a और b का तृतीयानुपाती b² ÷ a = (12xy)² ÷ 2x² = 144x²y² ÷ 2x² = 72y²। अतः उत्तर 72y² है।
Third proportional to a and b is b² ÷ a = (12xy)² ÷ 2x² = 144x²y² ÷ 2x² = 72y². So the answer is 72y².
422.
दो द्विघात समीकरणों x² + x + p = 0 और x² + 2x − 3 = 0 का एक मूल उभयनिष्ठ है। p का संभावित मान क्या है?
The two quadratic equations x2 + x + p = 0 and x2 + 2x − 3 = 0 have a common root. What is the possible value of p?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

−2

x² + 2x − 3 = (x + 3)(x − 1) = 0 से x = 1 या −3। x² + x + p = 0 में x = 1 रखने पर: 1 + 1 + p = 0, अतः p = −2 (x = −3 से p = −6 आता है, जो विकल्प में नहीं है)। अतः उत्तर −2 है।
x² + 2x − 3 = (x + 3)(x − 1) = 0 gives x = 1 or −3. Putting x = 1 in x² + x + p = 0: 1 + 1 + p = 0, so p = −2 (x = −3 would give p = −6, which is not an option). So the answer is −2.
423.
सरल कीजिए: x(3x − 9) + 3(x² − 2) + 14
Simplify: x(3x − 9) + 3(x2 − 2) + 14
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ड)

6x² − 9x + 8
6x2 − 9x + 8

x(3x − 9) + 3(x² − 2) + 14 = 3x² − 9x + 3x² − 6 + 14 = 6x² − 9x + 8।
x(3x − 9) + 3(x² − 2) + 14 = 3x² − 9x + 3x² − 6 + 14 = 6x² − 9x + 8.
424.
समीकरण x² − 2x + 13 = 0 का विविक्तकर कितना है? साथ ही, यह भी निर्धारित करें कि इस समीकरण के कितने वास्तविक हल हैं।
What is the discriminant of the equation x2 − 2x + 13 = 0? Also determine how many real solutions this equation has.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

−48, कोई वास्तविक मूल नहीं
−48, no real roots

x² − 2x + 13 = 0 के लिए D = b² − 4ac = 4 − 52 = −48। D < 0 होने से कोई वास्तविक मूल नहीं है। अतः उत्तर −48, no real roots है।
For x² − 2x + 13 = 0, D = b² − 4ac = 4 − 52 = −48. Since D < 0, there are no real roots. So the answer is −48, no real roots.
425.
यदि 27 : y :: y : 75 है, तो y का धनात्मक मान ज्ञात कीजिए।
If 27 : y :: y : 75, find the positive value of y.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ड)

45

सही उत्तर: 45 (आधिकारिक उत्तर कुंजी)।
Correct answer: 45 (official answer key).
426.
नीचे दिए गए विकल्पों में से कौन-सा विकल्प 216x³ + 27y³ + 324x²y + 162xy² के समतुल्य है?
Which of the options given below is equivalent to 216x3 + 27y3 + 324x2y + 162xy2?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

(6x + 3y)³
(6x + 3y)3

(6x + 3y)³ = 216x³ + 3(6x)²(3y) + 3(6x)(3y)² + 27y³ = 216x³ + 324x²y + 162xy² + 27y³। अतः उत्तर (6x + 3y)³ है।
(6x + 3y)³ = 216x³ + 3(6x)²(3y) + 3(6x)(3y)² + 27y³ = 216x³ + 324x²y + 162xy² + 27y³. So the answer is (6x + 3y)³.
427.
x(3x - 6) + 4(x² -5) + 15 को सरल कीजिए।
Simplify x(3x - 6) + 4(x2 -5) + 15.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

7x² - 6x - 5
7x2 - 6x - 5

x(3x − 6) + 4(x² − 5) + 15 = 3x² − 6x + 4x² − 20 + 15 = 7x² − 6x − 5।
x(3x − 6) + 4(x² − 5) + 15 = 3x² − 6x + 4x² − 20 + 15 = 7x² − 6x − 5.
428.
यदि द्विघात समीकरण 6x² − 7x − 20 = 0 और 6x² + bx −10 = 0 में एक मूल सार्व है, तो b का मान ज्ञात कीजिए।
If the quadratic equations 6x2 − 7x − 20 = 0 and 6x2 + bx −10 = 0 have a common root, find the value of b.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

−11

6x² − 7x − 20 = 0 के मूल 5/2 और −4/3 हैं। x = 5/2 को 6x² + bx − 10 = 0 में रखने पर: 37.5 + 2.5b − 10 = 0, अतः b = −11। (x = −4/3 से b = 0.5 आता है, जो विकल्प में नहीं है।) अतः b = −11।
6x² − 7x − 20 = 0 has roots 5/2 and −4/3. Putting x = 5/2 in 6x² + bx − 10 = 0: 37.5 + 2.5b − 10 = 0, so b = −11. (x = −4/3 gives b = 0.5, not an option.) So b = −11.
429.
यदि द्विघात समीकरणों A(8x2 + 4) + Bx + 4x2 − 8 = 0 और 3A(2x2 + 1) + Kx + 3x2 − 6 = 0 के दोनों मूल उभयनिष्ठ हैं, तो 9B2 − 16K2 का मान क्या है?
If both the roots of the quadratic equation A(8x² + 4) + Bx + 4x² − 8 = 0 and 3A(2x² + 1) + Kx + 3x² − 6 = 0 are common, then what is the value of 9B² − 16K²?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ड)

0

पहला समीकरण: (8A + 4)x² + Bx + (4A − 8) = 0। दूसरा: (6A + 3)x² + Kx + (3A − 6) = 0। दूसरे के x² और अचर पद के गुणांक पहले के 3/4 हैं, अतः दोनों मूल उभयनिष्ठ होने के लिए K = 3B/4, अर्थात् 4K = 3B। तब 16K² = 9B², अतः 9B² − 16K² = 0।
First equation: (8A + 4)x² + Bx + (4A − 8) = 0. Second: (6A + 3)x² + Kx + (3A − 6) = 0. The second's x² and constant coefficients are 3/4 of the first's, so for both roots to be common K = 3B/4, i.e. 4K = 3B. Then 16K² = 9B², so 9B² − 16K² = 0.
430.
निम्नलिखित को सरल कीजिए। x(7x − 4) + 2(x² − 2) + 11
Simplify the following. x(7x − 4) + 2(x2 − 2) + 11
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

9x² − 4x + 7
9x2 − 4x + 7

x(7x − 4) + 2(x² − 2) + 11 = 7x² − 4x + 2x² − 4 + 11 = 9x² − 4x + 7। अतः उत्तर 9x² − 4x + 7 है।
x(7x − 4) + 2(x² − 2) + 11 = 7x² − 4x + 2x² − 4 + 11 = 9x² − 4x + 7. So the answer is 9x² − 4x + 7.
431.
x(6x − 3) + 5(x² − 4) + 18 को सरल करें।
Simplify x(6x − 3) + 5(x2 − 4) + 18.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

11x² − 3x − 2
11x2 − 3x − 2

x(6x − 3) + 5(x² − 4) + 18 = 6x² − 3x + 5x² − 20 + 18 = 11x² − 3x − 2। अतः उत्तर 11x² − 3x − 2 है।
x(6x − 3) + 5(x² − 4) + 18 = 6x² − 3x + 5x² − 20 + 18 = 11x² − 3x − 2. So the answer is 11x² − 3x − 2.
432.
127 - 7 x (17 + 6) + 93 का सरलीकृत मान ज्ञात कीजिए।
Find the simplified value of 127 - 7 x (17 + 6) + 93.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ड)

59

BODMAS: 17 + 6 = 23; 7 × 23 = 161। फिर 127 − 161 + 93 = 59। अतः उत्तर 59 है।
BODMAS: 17 + 6 = 23; 7 × 23 = 161. Then 127 − 161 + 93 = 59. So the answer is 59.
433.
दिए गए निम्नलिखित के आधार पर x² + y² का मान ज्ञात कीजिए।
Find the value of x² + y² , given the following.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

108

सही उत्तर: 108 (आधिकारिक उत्तर कुंजी)।
Correct answer: 108 (official answer key).
434.
दिए गए व्यंजक को सरलीकृत कीजिए। x(7x − 5) + 3(x² − 2) + 14
Simplify the given expression. x(7x − 5) + 3(x2 − 2) + 14
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ड)

10x² − 5x + 8
10x2 − 5x + 8

x(7x − 5) + 3(x² − 2) + 14 = 7x² − 5x + 3x² − 6 + 14 = 10x² − 5x + 8। अतः उत्तर 10x2 − 5x + 8 है।
x(7x − 5) + 3(x² − 2) + 14 = 7x² − 5x + 3x² − 6 + 14 = 10x² − 5x + 8. So the answer is 10x2 − 5x + 8.
435.
यदि 21.6 : x :: x : 29.4, और x > 0 है, तो x का मान ज्ञात कीजिए।
If 21.6 : x :: x : 29.4, and x > 0, then find the value of x.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ड)

25.2

x मध्यानुपाती है: x² = 21.6 × 29.4 = 635.04। अतः x = √635.04 = 25.2।
x is the mean proportional: x² = 21.6 × 29.4 = 635.04. So x = √635.04 = 25.2.
436.
यदि द्विघात समीकरण kx² − 4x + 1 = 0 के मूल वास्तविक एवं बराबर हैं, तो k का मान क्या है?
If the roots of the quadratic equation kx2 − 4x + 1 = 0 are real and equal, what is the value of k?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

4

वास्तविक और समान मूलों के लिए विविक्तकर = 0: (−4)² − 4 × k × 1 = 0, अतः 16 = 4k और k = 4।
Equal real roots need discriminant = 0: (−4)² − 4 × k × 1 = 0, so 16 = 4k and k = 4.
437.
यदि 2x + 3y = 11 और xy = 2 है, तो 4x² + 9y² का मान ज्ञात कीजिए।
If 2x + 3y = 11 and xy = 2, find the value of 4x² + 9y².
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

97

(2x + 3y)² = 4x² + 9y² + 12xy। अतः 121 = 4x² + 9y² + 12 × 2। इसलिए 4x² + 9y² = 121 − 24 = 97।
(2x + 3y)² = 4x² + 9y² + 12xy. So 121 = 4x² + 9y² + 12 × 2. Hence 4x² + 9y² = 121 − 24 = 97.
438.
k के किस मान के लिए द्विघात समीकरण 2x² − 5x + 3 = 0 और 4x² − (k+1)x + 6 = 0 के दोनों मूल सार्व (common) हैं?
For what value of k do the quadratic equations 2x2 − 5x + 3 = 0 and 4x2 − (k+1)x + 6 = 0 have both roots common?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

9

2x² - 5x + 3 = 0 के मूल 1 और 3/2 हैं, योग 5/2। दोनों मूल उभयनिष्ठ हैं, अतः 4x² - (k+1)x + 6 के मूलों का योग (k+1)/4 = 5/2, जिससे k + 1 = 10 और k = 9 (मूलों का गुणनफल 6/4 = 3/2 भी मेल खाता है)। अतः उत्तर 9 है।
2x² - 5x + 3 = 0 has roots 1 and 3/2, sum 5/2. Both roots common means 4x² - (k+1)x + 6 has the same roots: sum = (k+1)/4 = 5/2, so k + 1 = 10 and k = 9 (product 6/4 = 3/2 also matches). So the answer is 9.
439.
x(4x − 4) + 5(x² − 5) + 12 को सरल करें।
Simplify x(4x − 4) + 5(x2 − 5) + 12.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

9x² − 4x − 13
9x2 − 4x − 13

x(4x − 4) = 4x² − 4x तथा 5(x² − 5) = 5x² − 25। योग + 12 = 9x² − 4x − 25 + 12। अतः उत्तर 9x2 − 4x − 13 है।
x(4x − 4) = 4x² − 4x and 5(x² − 5) = 5x² − 25. Sum + 12 = 9x² − 4x − 25 + 12. So the answer is 9x2 − 4x − 13.
440.
यदि x² + y² − 16x + 38y + 425 = 0, तो x² + y² का मान ज्ञात कीजिए।
If x2 + y2 − 16x + 38y + 425 = 0, then find the value of x2 + y2.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

425

x² − 16x + 64 + y² + 38y + 361 = 64 + 361 − 425 = 0, अतः (x − 8)² + (y + 19)² = 0। इसलिए x = 8, y = −19। x² + y² = 64 + 361 = 425।
x² − 16x + 64 + y² + 38y + 361 = 64 + 361 − 425 = 0, so (x − 8)² + (y + 19)² = 0. Hence x = 8, y = −19. x² + y² = 64 + 361 = 425.
441.
द्विघात समीकरण 3x² − 4x + 2 = 0 का विविक्तकर ज्ञात कीजिए, तथा इससे इसके मूलों की प्रकृति निर्धारित कीजिए।
Find the discriminant of the quadratic equation 3x2 − 4x + 2 = 0 and hence determine the nature of its roots.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

विविक्तकर = −8, मूल काल्पनिक हैं
Discriminant = −8, roots are imaginary

3x² − 4x + 2 = 0 के लिए: D = b² − 4ac = 16 − 24 = −8। D < 0, अतः मूल काल्पनिक हैं। अतः उत्तर विविक्तकर = −8, मूल काल्पनिक हैं।
For 3x² − 4x + 2 = 0: D = b² − 4ac = 16 − 24 = −8. D < 0, so the roots are imaginary. So the answer is Discriminant = −8, roots are imaginary.
442.
जब x = 1 हो, तो (x + 2)² − (x − 2)² का मान कितना होगा?
What is the value of (x + 2)² − (x − 2)² when x = 1?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

8

(x + 2)² − (x − 2)² = 4 × x × 2 = 8x। x = 1 पर मान 8 है। अतः उत्तर 8 है।
(x + 2)² − (x − 2)² = 4 × x × 2 = 8x. For x = 1 the value is 8. So the answer is 8.
443.
यदि α और β, समीकरण x² − x − 6 = 0 के मूल हैं, तो α⁴ + β⁴ का मान ज्ञात कीजिए।
If α and β are the roots of the equation x2 − x − 6 = 0, find the value of α4 + β4.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

97

α + β = 1 और αβ = −6। α² + β² = 1² − 2(−6) = 13। α⁴ + β⁴ = 13² − 2 × (−6)² = 169 − 72 = 97। अतः उत्तर 97 है।
α + β = 1 and αβ = −6. α² + β² = 1² − 2(−6) = 13. α⁴ + β⁴ = 13² − 2 × (−6)² = 169 − 72 = 97. So the answer is 97.
444.
एक द्विघात बहुपद f(x) को (x - 2) से भाग देने पर शेषफल 5 और (x - 4) से भाग देने पर शेषफल -3 प्राप्त होता है। यदि f(x) का रूप ax² + bx + c है और अग्रग गुणांक 1 है, तो निम्नलिखित में से कौन-सा सही द्विघात समीकरण f(x)=0 है?
When a quadratic polynomial f(x) is divided by (x - 2), the remainder is 5, and when divided by (x - 4), the remainder is -3. If f(x) is of the form ax2 + bx + c and the leading coefficient is 1, which of the following is the correct quadratic equation f(x)=0?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

x2−10x+21=0

f(x) = x² + bx + c। f(2) = 4 + 2b + c = 5 और f(4) = 16 + 4b + c = −3। घटाने पर: 12 + 2b = −8, अतः b = −10 और c = 5 − 4 + 20 = 21। अतः f(x) = x² − 10x + 21 = 0।
f(x) = x² + bx + c. f(2) = 4 + 2b + c = 5 and f(4) = 16 + 4b + c = −3. Subtracting: 12 + 2b = −8, so b = −10, and c = 5 − 4 + 20 = 21. So f(x) = x² − 10x + 21 = 0.
445.
यदि 21.6 : x :: x : 29.4, और x > 0 है, तो x का मान ज्ञात कीजिए।
If 21.6 : x :: x : 29.4, and x > 0, find the value of x.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

25.2

x मध्यानुपाती है: x² = 21.6 × 29.4 = 635.04। x = √635.04 = 25.2।
x is the mean proportional: x² = 21.6 × 29.4 = 635.04. x = √635.04 = 25.2.
446.
(2x + 3y)(2x − 3y) को सरल कीजिए।
Simplify (2x + 3y)(2x − 3y).
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

4x² − 9y²

(a + b)(a − b) = a² − b² में a = 2x और b = 3y रखने पर: (2x)² − (3y)² = 4x² − 9y²।
Using (a + b)(a − b) = a² − b² with a = 2x and b = 3y: (2x)² − (3y)² = 4x² − 9y².
447.
समीकरण x⁴ − 13x² + 36 = 0 को द्विघात समीकरण में लघुकृत करें और लघुकृत द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करें।
Reduce the equation x4 − 13x2 + 36 = 0 to a quadratic equation and find the roots of the reduced quadratic equation.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ड)

9, 4

माना y = x²। तब y² − 13y + 36 = 0, जिसके गुणनखंड (y − 9)(y − 4) = 0 हैं। समानीत द्विघात समीकरण के मूल 9 और 4 हैं।
Let y = x². Then y² − 13y + 36 = 0, which factors as (y − 9)(y − 4) = 0. The roots of the reduced quadratic are 9 and 4.
448.
दिए गए समीकरणों को (x, y, z) के लिए हल कीजिए। x + y + z = 2 6x − 4y + 5z = 31 5x + 2y + 2z = 13
Solve the given equations for (x, y, z). x + y + z = 2 6x − 4y + 5z = 31 5x + 2y + 2z = 13
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

(3, −2, 1)

(3, −2, 1) की जाँच: 3 − 2 + 1 = 2; 6 × 3 − 4 × (−2) + 5 × 1 = 18 + 8 + 5 = 31; 5 × 3 + 2 × (−2) + 2 × 1 = 15 − 4 + 2 = 13। तीनों समीकरण सही हैं। अतः (x, y, z) = (3, −2, 1)।
Check (3, −2, 1): 3 − 2 + 1 = 2; 6 × 3 − 4 × (−2) + 5 × 1 = 18 + 8 + 5 = 31; 5 × 3 + 2 × (−2) + 2 × 1 = 15 − 4 + 2 = 13. All three hold. So (x, y, z) = (3, −2, 1).
449.
178 - 7 x (3 + 17) + 22 का सरलीकृत मान ज्ञात कीजिए।
The simplified value of 178 - 7 x (3 + 17) + 22 is:
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ड)

60

BODMAS से: 3 + 17 = 20; 7 × 20 = 140; 178 − 140 + 22 = 60। अतः उत्तर 60 है।
Using BODMAS: 3 + 17 = 20; 7 × 20 = 140; 178 − 140 + 22 = 60. So the answer is 60.
450.
दिए गए आंकड़ा समुच्चय {x + 4, 2x - 3, 5x, x + 1, 3x + 2} में, x > 1 के लिए, जहाँ x एक प्राकृत संख्या है, यदि माध्यि का 7 है, तो x का मान कितना होगा?
In the given data set {x + 4, 2x - 3, 5x, x + 1, 3x + 2}, for x > 1, where x is a natural number, if the median is 7, what will be the value of x?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

3

x = 3 रखने पर मान 7, 3, 15, 4, 11 हैं। क्रम में: 3, 4, 7, 11, 15, अतः माध्यिका (तीसरा मान) 7 है। अतः x = 3.
Try x = 3: values are 7, 3, 15, 4, 11. Sorted: 3, 4, 7, 11, 15, so the median (3rd value) is 7. So x = 3.
451.
निम्न में से वह द्विघात समीकरण कौन-सा है, जिसके मूल 3 और –2 हैं?
Which of the following is the quadratic equation whose roots are 3 and –2?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

x² – x – 6 = 0

मूलों का योग = 3 + (−2) = 1, गुणनफल = 3 × (−2) = −6। समीकरण: x² − (योग)x + गुणनफल = x² − x − 6 = 0।
Sum of roots = 3 + (−2) = 1, product = 3 × (−2) = −6. Equation: x² − (sum)x + product = x² − x − 6 = 0.
452.
यदि 100 : y :: y : 36 है, तो y का धनात्मक मान ज्ञात कीजिए।
If 100 : y :: y : 36, find the positive value of y.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

60

y मध्यानुपाती है: y² = 100 × 36 = 3600, अतः y = 60. अतः उत्तर 60 है।
y is the mean proportional: y² = 100 × 36 = 3600, so y = 60. So the answer is 60.
453.
यदि x + y = 10 और xy = 24.96 है, तो (x − y)² का मान ज्ञात कीजिए।
If x + y = 10 and xy = 24.96, then find the value of (x − y)².
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ड)

0.16

(x − y)² = (x + y)² − 4xy = 100 − 4 × 24.96 = 100 − 99.84 = 0.16। अतः उत्तर 0.16 है।
(x − y)² = (x + y)² − 4xy = 100 − 4 × 24.96 = 100 − 99.84 = 0.16. So the answer is 0.16.
454.
निम्‍नलिखित को सरल कीजिए: [(3x + 5y)² − 60xy] ÷ [(3x − 5y)²]
Simplify the following: [(3x + 5y)² − 60xy] ÷ [(3x − 5y)²]
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

1

(3x + 5y)² = 9x² + 30xy + 25y²। इसमें से 60xy घटाने पर 9x² − 30xy + 25y² = (3x − 5y)²। अतः अनुपात = (3x − 5y)² ÷ (3x − 5y)² = 1।
(3x + 5y)² = 9x² + 30xy + 25y². Subtracting 60xy gives 9x² − 30xy + 25y² = (3x − 5y)². So the ratio = (3x − 5y)² ÷ (3x − 5y)² = 1.
455.
त्रिघात समीकरण x³ − 3x² + 4x − 12 = 0 दिया गया है। एक समय में लिए गए दो मूलों के गुणनफल का योग ज्ञात कीजिए।
Given the cubic equation x3 − 3x2 + 4x − 12 = 0, find the sum of the products of the roots taken two at a time.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

4

x³ + bx² + cx + d = 0 (a = 1) में मूलों के दो-दो के गुणनफलों का योग c/a होता है। यहाँ c = 4, अतः योग = 4। इसलिए उत्तर 4 है।
For x³ + bx² + cx + d = 0 (a = 1), the sum of products of roots two at a time is c/a. Here c = 4, so the sum = 4. So the answer is 4.
456.
x² + (2a + 3)x + (a² + 3a) = 0 के मूल ज्ञात करें।
Find the roots of x2 + (2a + 3)x + (a2 + 3a) = 0.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ड)

x = −a, −a −3

x² + (2a + 3)x + a(a + 3) का गुणनखंड (x + a)(x + a + 3) = 0 है। अतः मूल x = −a और x = −a − 3 हैं।
x² + (2a + 3)x + a(a + 3) factorises as (x + a)(x + a + 3) = 0. So the roots are x = −a and x = −a − 3.
457.
यदि a – b = 6 और ab = 135 है, तो (a + b) का संभावित मान ज्ञात कीजिए।
If a – b = 6 and ab = 135, then find a possible value of (a + b).
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

24

(a + b)² = (a − b)² + 4ab = 36 + 540 = 576। अतः a + b = 24 (धनात्मक मान)।
(a + b)² = (a − b)² + 4ab = 36 + 540 = 576. So a + b = 24 (taking the positive value).
458.
(7a + 6b + 4c)² का विस्तारित रूप लिखिए।
Write the expanded form of (7a + 6b + 4c)2.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

49a² + 36b² + 16c² + 84ab + 48bc + 56ac
49a2 + 36b2 + 16c2 + 84ab + 48bc + 56ac

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca। अतः (7a + 6b + 4c)² = 49a² + 36b² + 16c² + 84ab + 48bc + 56ac।
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca. So (7a + 6b + 4c)² = 49a² + 36b² + 16c² + 84ab + 48bc + 56ac.
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